Ache os autovalores e os autovetores dos operadores lineares do R^3 definidos pelas matrizes abaixo:
A=(ccc2 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 0 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear em R^3 dado pela matriz
A = 2 & -1 & 0 0 & 2 & 0 1 & 0 & 2
O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A - lambda I)x = 0 para obter os autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det 2-lambda & -1 & 0 0 & 2-lambda & 0 1 & 0 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha,
det(A - lambda I) = (2-lambda)det2-lambda & 00 & 2-lambda -(-1)det0 & 01 & 2-lambda
Como det0 & 01 & 2-lambda=0, segue
det(A - lambda I) = (2-lambda),(2-lambda)^2 = (2-lambda)^3

Passo 3

Igualando o polinômio característico a zero, obtemos o único autovalor
lambda = 2,
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 4

Para os autovetores associamos e resolvemos
Isso dá o sistema
logo , e fica livre. Portanto o espaço próprio é gerado por
e a multiplicidade geométrica é .

Resposta

O único autovalor é lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) e seus autovetores são todos os múltiplos escalares de
001

Exercícios relacionados