Ache os autovalores(com suas multiplicidades) e os autovetores das matrizes abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre os autovalores e os autovetores da matriz
A = 1 & 1 [4pt] 0 & 2
O conteúdo que vamos usar é: 1 calcular o polinômio característico det(A - lambda I), 2 achar suas raízes (autovalores) e 3 para cada autovalor lambda, resolver o sistema (A - lambda I)x = 0 para encontrar a direção dos autovetores.]
Logo as raízes são lambda1 = 1 e lambda2 = 2, cada uma com multiplicidade algébrica 1.]
Passo 3
Agora achamos o autovetor para lambda1 = 1. Montamos
A - 1cdot I = 1-1 & 1[4pt]0 & 2-1 = 0 & 1[4pt]0 & 1,
e resolvemos
0 & 1 0 & 1 x y = 00 ;Longrightarrow;y = 0,;x;livre
Assim os autovetores associados a lambda1=1 são todos os múltiplos de 10.]
Passo 4
Agora para lambda2 = 2, temos
A - 2cdot I = 1-2 & 1[4pt]0 & 2-2 = -1 & 1[4pt]0 & 0,
e o sistema
-1 & 1 0 & 0 x y = 00 ;Longrightarrow;-x + y = 0;Rightarrow;y = x
Logo os autovetores de lambda2=2 são todos os múltiplos de 11.]
Resposta
Os autovalores e seus autovetores (até escala) são: lambda1 = 1, multiplicidade 1, com autovetores proporcionais a 10. lambda2 = 2, multiplicidade 1, com autovetores proporcionais a 11.