Considere os vetores v1=(1,-3,2), v2=(2,4,-1) e v3=(1,-1,1) do R^3.
Mostre que o vetor w=(4,-10,5) não é combinação linear de v1, v2 e v3. Justifique.
Dica: utilize os cálculos realizados no exercício 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o vetor w=(4,-10,5) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores
v1=(1,-3,2), v2=(2,4,-1), v3=(1,-1,1)
O conteúdo necessário é saber que “ w é combinação linear de v1,v2,v3” significa que existem escalares a,b,c tais que
a,v1+b,v2+c,v3=w
Para provar que não existe tal escolha de a,b,c, basta montar o sistema linear correspondente e mostrar que ele é inconsistente.

Passo 2

Escrevendo ;a,v1+b,v2+c,v3=w; coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + 2b + c = 4,
-3a + 4b - c = -10,
2a - b + c = 5

Passo 3

Vamos verificar inconsistências por combinações de linhas.
Somamos a primeira e a segunda equações:
(a+2b+c)+(-3a+4b-c)=4+(-10)
que simplifica para
-2a+6b=-6
Dividindo por -2, obtemos
a-3b=3
Agora subtraímos a primeira equação da terceira:
(2a - b + c)-(a+2b+c)=5-4
que leva a
a-3b=1

Passo 4

As duas relações que encontramos são
a-3b=3 e a-3b=1,
mas não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo (dariam 3=1). Logo o sistema é inconsistente e não existem a,b,c satisfazendo todas as equações.

Resposta

O vetor w=(4,-10,5) não é combinação linear de v1,v2 e v3.

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