Considere a transformação linear T: R^3 R^2 dada por:
T(x, y, z)=(2 x-y,-x+3 y+z)
Determine os subespaços Ker(T) e Ima>=m(T). A seguir, apresente uma base para cada um e a respectiva dimensão, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem da transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x-y,,-x+3y+z)
O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente encontrar ker(T) e Im(T), suas bases e dimensões.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de na base canônica de e . Para temos
Os vetores-coluna são
,
e
.

Passo 3

Para
Da primeira equação . Assim
base canônica e .

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas c1,c2,c3. Note que
c1=(2,-1) e c2=(-1,3) são linearmente independentes, pois
detl[c1,c2r] =2cdot3-(-1)cdot(-1)=6-1=5neq0
Portanto c1,c2 formam base de Im(T). Logo
Im(T)=span(2,-1),,(-1,3)
e dimIm(T)=2.

Resposta

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