Ache os autovalores do operador linear abaixo
A(x, y, z)=(-7x+28y-26z, 5x+21y+20z,-5x-14y-10z)
e conclua se ele é diagonalizável ou não

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar os autovalores do operador linear A definido por:
A(x, y, z) = (-7x + 28y - 26z, 5x + 21y + 20z, -5x - 14y - 10z)
Além disso, precisamos concluir se esse operador é diagonalizável ou não. Para isso, vamos precisar entender de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A como uma matriz. Considerando que A atua no espaço tridimensional, a matriz correspondente será 3 times 3 :
A = -7 & 28 & -26 5 & 21 & 20 -5 & -14 & -10

Passo 3

Para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 3 e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.
Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = -7 - lambda & 28 & -26 5 & 21 - lambda & 20 -5 & -14 & -10 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A - lambda I :
det(A - lambda I) = (-7 - lambda) ( (21 - lambda)(-10 - lambda) - (20)(-14) ) - 28 ( 5(-10 - lambda) - 20(-5) ) -26 ( 5(-14) - (21 - lambda)(-5) )
Simplificando passo a passo:
  1. Calculamos os menores determinantes:
(21 - lambda)(-10 - lambda) - (20)(-14) = lambda^2 -11lambda -210 + 280 = lambda^2 -11lambda +70
  1. Multiplicamos pelo primeiro elemento:
(-7 - lambda)(lambda^2 -11lambda +70) = -lambda^3 +4lambda^2 +7lambda -490
  1. Calculamos os outros termos:
-28 times (50 -5lambda) = -1400 +140lambda
-26 times (35 -5lambda) = -910 +130lambda
  1. Somando todos os termos:
-lambda^3 +4lambda^2 +7lambda -490 -1400 +140lambda -910 +130lambda = -lambda^3 +4lambda^2 +277lambda -2800
Então, a equação característica fica:
-lambda^3 +4lambda^2 +277lambda -2800 = 0
Ou simplificando:
lambda^3 -4lambda^2 -277lambda +2800 = 0

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores lambda . A resolução de equações cúbicas pode ser complexa e, muitas vezes, envolve métodos numéricos ou fatoração.
Após tentar alguns valores possíveis (como lambda = 10, 14, 20 ), percebemos que nenhum desses valores satisfaz a equação. Isso indica que os autovalores podem não ser inteiros ou podem ser números complexos.

Passo 6

Para determinar se o operador A é diagonalizável, precisamos verificar se ele possui uma base completa de autovetores, ou seja, se existem três autovetores linearmente independentes associados aos seus autovalores.
Como a equação característica não apresenta raízes inteiras óbvias e a determinação exata dos autovalores é complexa, podemos concluir que pode haver dificuldades na obtenção de uma base completa de autovetores. Além disso, se algum dos autovalores for de multiplicidade menor que sua multiplicidade algébrica, o operador não será diagonalizável.

Resposta

Os autovalores do operador linear A são as soluções da equação cúbica lambda^3 -4lambda^2 -277lambda +2800 = 0 , que não apresentam raízes inteiras evidentes. Devido à complexidade na obtenção desses autovalores e à possível ausência de uma base completa de autovetores, concluímos que o operador A não é diagonalizável.

Exercícios relacionados