Encontre os autovalores e os autovetores associados, do operador linear
A: R3 R3, dado por A(x, y, z)=(-4x+y+2z, 4x-3y-3z,-7x+3y+4z)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear A que mapeia R^3 para R^3. Basicamente, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e as próprias definições de autovalores e autovetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar autovalores e autovetores de uma matriz ou operador linear. Autovalores ( lambda ) são os valores escalares que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante da matriz. Resolver essa equação nos dá os autovalores.
Depois de encontrar os autovalores, os autovetores são os vetores não nulos v que satisfazem:
Av = lambda v
Ou seja, quando aplicamos a matriz A ao vetor v , o resultado é o próprio vetor v multiplicado pelo escalar lambda .

Passo 3

Vamos começar encontrando a matriz A a partir da transformação dada:
A = -4 & 1 & 2 4 & -3 & -3 -7 & 3 & 4
Agora, precisamos calcular o determinante da matriz A - lambda I :
A - lambda I = -4 - lambda & 1 & 2 4 & -3 - lambda & -3 -7 & 3 & 4 - lambda

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)[(-3 - lambda)(4 - lambda) - (-3)(3)] - 1[4(4 - lambda) - (-3)(-7)] + 2[4(3) - (-3 - lambda)(-7)]
Calculando cada parte:
(-3 - lambda)(4 - lambda) - (-3)(3) = (-3 - lambda)(4 - lambda) + 9
4(4 - lambda) - (-3)(-7) = 4(4 - lambda) - 21
4(3) - (-3 - lambda)(-7) = 12 - 7(3 + lambda) = 12 - 21 - 7lambda = -9 - 7lambda

Passo 5

Continuando o cálculo:
  1. Expandindo (-3 - lambda)(4 - lambda):
(-3)(4) + (-3)(-lambda) + (-lambda)(4) + (-lambda)(-lambda) = -12 + 3lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda - 12
Então,
lambda^2 - lambda - 12 + 9 = lambda^2 - lambda - 3
  1. Calculando 4(4 - lambda) - 21:
16 - 4lambda - 21 = -4lambda - 5
  1. Já simplificamos anteriormente para -9 - 7lambda.

Passo 6

Agora, substituímos de volta no determinante:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(lambda^2 - lambda - 3) - 1(-4lambda - 5) + 2(-9 - 7lambda)
Vamos expandir cada termo:
(-4 - lambda)(lambda^2 - lambda - 3) = -4lambda^2 + 4lambda + 12 - lambda^3 + lambda^2 + 3lambda = -lambda^3 - 3lambda^2 + 7lambda + 12
-1(-4lambda - 5) = 4lambda + 5
2(-9 - 7lambda) = -18 - 14lambda

Passo 7

Somando todos os termos:
-lambda^3 - 3lambda^2 + 7lambda + 12 + 4lambda + 5 - 18 - 14lambda = -lambda^3 - 3lambda^2 - 3lambda - 1
Então, a equação característica é:
-lambda^3 - 3lambda^2 - 3lambda - 1 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0

Passo 8

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para obter os autovalores. Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos sugere testar os divisores do termo constante ( 1) sobre os divisores do coeficiente líder ( 1).
Testando lambda = -1:
(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0
Então, lambda = -1 é um autovalor.

Passo 9

Agora, podemos fatorar lambda + 1 da equação cúbica:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = (lambda + 1)(lambda^2 + 2lambda + 1)
A segunda parte, lambda^2 + 2lambda + 1, pode ser fatorada como (lambda + 1)^2.
Portanto, temos:
(lambda + 1)^3 = 0
Isso significa que o único autovalor é lambda = -1, com multiplicidade 3.

Passo 10

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = -1. Precisamos resolver a equação:
(A - (-1)I)v = 0 Rightarrow (A + I)v = 0
Calculando A + I:
A + I = -4 + 1 & 1 & 2 4 & -3 + 1 & -3 -7 & 3 & 4 + 1 = -3 & 1 & 2 4 & -2 & -3 -7 & 3 & 5

Passo 11

Agora, precisamos resolver o sistema homogêneo:
-3x + y + 2z = 0 4x - 2y - 3z = 0 -7x + 3y + 5z = 0
Vamos simplificar esse sistema. Primeiramente, podemos dividir a primeira equação por -1:
3x - y - 2z = 0 (Equação 1) çã
Agora, podemos expressar y em termos de x e z :
y = 3x - 2z

Passo 12

Substituindo y = 3x - 2z na segunda equação:
4x - 2(3x - 2z) - 3z = 0 4x - 6x + 4z - 3z = 0 -2x + z = 0 Rightarrow z = 2x
Agora, substituindo z = 2x na expressão para y :
y = 3x - 2(2x) = 3x - 4x = -x

Passo 13

Agora, temos todas as variáveis em termos de x :
y = -x z = 2x
Podemos escolher x como parâmetro livre. Vamos chamar x = t , onde t é um número real qualquer.
Então, os autovetores são da forma:
v = t - t 2 t = t 1 -1 2

Resposta

O único autovalor é lambda = -1 , e os autovetores associados são todos os múltiplos do vetor 1 -1 2 . Ou seja, os autovetores são v = t 1 -1 2 , onde t é um número real qualquer.

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