Encontre os autovalores e os autovetores associados, do operador linear , dado por
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para encontrar os autovalores e os autovetores de um operador linear que mapeia para . Basicamente, vamos precisar usar conceitos de matrizes, determinantes e as próprias definições de autovalores e autovetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar autovalores e autovetores de uma matriz ou operador linear. Autovalores () são os valores escalares que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz. Resolver essa equação nos dá os autovalores.
Depois de encontrar os autovalores, os autovetores são os vetores não nulos que satisfazem:
Ou seja, quando aplicamos a matriz ao vetor , o resultado é o próprio vetor multiplicado pelo escalar .
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz a partir da transformação dada:
Agora, precisamos calcular o determinante da matriz A - lambda I :
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 + 3lambda^2 + 3lambda + 1 = 0
Passo 8
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica para obter os autovalores. Vamos tentar encontrar pelo menos uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos sugere testar os divisores do termo constante (1) sobre os divisores do coeficiente líder (1).
Testando lambda = -1:
(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0
Então, lambda = -1 é um autovalor.
Passo 9
Agora, podemos fatorar lambda + 1 da equação cúbica:
Podemos escolher x como parâmetro livre. Vamos chamar x = t , onde t é um número real qualquer.
Então, os autovetores são da forma:
v = t - t 2 t = t 1 -1 2
Resposta
O único autovalor é lambda = -1 , e os autovetores associados são todos os múltiplos do vetor 1 -1 2 . Ou seja, os autovetores são v = t 1 -1 2 , onde t é um número real qualquer.