Encontre os autovalores da aplicação linear , e encontre os autovetores associados aos autovalores não nulos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar os autovalores da aplicação linear e, depois, os autovetores correspondentes aos autovalores que não são zero. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes, determinantes e equações características, tudo de uma maneira bem simples.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a aplicação linear como uma matriz. A aplicação significa que a primeira componente da imagem é e a segunda também é . Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores lambda , precisamos resolver a chamada equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Resolvendo a equação -lambda(1 - lambda) = 0 , encontramos os autovalores:
lambda = 0 ou lambda = 1
Então, os autovalores de A são lambda1 = 0 e lambda2 = 1 .
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores não nulos, ou seja, lambda = 1 .
Para isso, resolvemos a equação:
(A - lambda I)v = 0
Substituindo lambda = 1 :
1 - 1 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Simplificando:
0 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Isso resulta nas equações:
0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 v1 - v2 = 0
Da segunda equação, temos v1 = v2 . Então, os autovetores são da forma:
v = k k , onde k neq 0
Resposta
Os autovalores da aplicação linear A(x, y) = (x, x) são lambda = 0 e lambda = 1 . O autovetor associado ao autovalor não nulo lambda = 1 é qualquer vetor da forma: