Encontre os autovalores da aplicação linear A(x, y)=(x, x), e encontre os autovetores associados aos autovalores não nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar os autovalores da aplicação linear A(x, y) = (x, x) e, depois, os autovetores correspondentes aos autovalores que não são zero. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes, determinantes e equações características, tudo de uma maneira bem simples.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a aplicação linear A como uma matriz. A aplicação A(x, y) = (x, x) significa que a primeira componente da imagem é x e a segunda também é x . Então, a matriz de A fica:
A = 1 & 0 1 & 0

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores lambda , precisamos resolver a chamada equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 1 & -lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-lambda) - (0 times 1) = -lambda(1 - lambda)
Então, a equação característica fica:
-lambda(1 - lambda) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação -lambda(1 - lambda) = 0 , encontramos os autovalores:
lambda = 0 ou lambda = 1
Então, os autovalores de A são lambda1 = 0 e lambda2 = 1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes aos autovalores não nulos, ou seja, lambda = 1 .
Para isso, resolvemos a equação:
(A - lambda I)v = 0
Substituindo lambda = 1 :
1 - 1 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Simplificando:
0 & 0 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Isso resulta nas equações:
0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 v1 - v2 = 0
Da segunda equação, temos v1 = v2 . Então, os autovetores são da forma:
v = k k , onde k neq 0

Resposta

Os autovalores da aplicação linear A(x, y) = (x, x) são lambda = 0 e lambda = 1 . O autovetor associado ao autovalor não nulo lambda = 1 é qualquer vetor da forma:
v = k k , com k neq 0

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