Ache os autovalores e respectivos autoespaços da transformação abaixo.
T: R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(2 x+y,-y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os respectivos autoespaços da transformação linear
Tcolon R^2toR^2, (x,y)mapsto (2x+y,,-y)
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de uma matriz 2times2. Vamos precisar escrever T em forma de matriz na base canônica, calcular o polinômio característico, achar suas raízes (autovalores) e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 2 & 1 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 1 0 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)
Igualando a zero, obtemos os autovalores
2-lambda=0implies lambda=2, -1-lambda=0implies lambda=-1

Passo 4

Para , resolvemos
Logo o autoespaço é
Para , resolvemos
Logo o autoespaço é

Resposta

, autoespaço
, autoespaço

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