Ache os autovalores e respectivos autoespaços da transformação abaixo.
T: R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(x, y) (T é a transformação identidade em R^2) éçã

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:R^2toR^2 por
T(x,y) = (x,y),
isto é, T é a transformação identidade em R^2. O que precisamos encontrar são os autovalores lambda de T e, para cada lambda, o autoespaço
Elambda = ,vinR^2 mid T(v)=lambda v

Passo 2

Para encontrar os autovalores, escolhemos a base canônica de R^2. A matriz de T nesta base é
[T] = I2 = 1 & 0 [6pt] 0 & 1
]

Passo 3

O polinômio característico de T é
p(lambda) = detl(I2 - lambda I2r) = det1-lambda & 0 [4pt] 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2
Daí vem o único autovalor
lambda = 1,
com multiplicidade algébrica 2.
]

Passo 4

Para o autoespaço de lambda=1, resolvemos
(T - I2)(x,y) = (0,0)
Mas T - I2 é a matriz zero, pois T=I2. Logo todo vetor (x,y) satisfaz
T(x,y) - 1cdot(x,y) = (0,0),
e o autoespaço é
E1 = R^2

Resposta

O único autovalor é lambda=1 e o seu autoespaço é
E1 = R^2

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