Considere a hipérbole cujas equações paramêtricas são dadas por
l x= pm 2 cosh (t)-6 y=6 sinh (t)+2 , t in R
(b) Determine em quais pontos as assíntotas cortam o eixo Ox.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole com as equações paramétricas
x = pm 2cosh(t) - 6, y = 6sinh(t) + 2, tinR,
e pede em quais pontos as assíntotas cortam o eixo Ox. Para isso, vamos: (i) obter a equação cartesiana, (ii) determinar as assíntotas e (iii) calcular sua interseção com y=0.

Passo 2

Das paramétricas temos
x + 6 = pm 2cosh(t), y - 2 = 6sinh(t)
Elevando ao quadrado e dividindo, fica
(x+6)^24 - (y-2)^236 = cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
Logo a forma cartesiana é
(x+6)^24 - (y-2)^236 = 1

Passo 3

Numa hipérbole (x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1, as assíntotas são
y-k = pm ba(x-h)
Aqui o centro é (h,k)=(-6,2), a=2, b=6, então tfracba=3 e as assíntotas são
y-2 = 3(x+6) e y-2 = -3(x+6)

Passo 4

Para achar a interseção com o eixo Ox impomos y=0:
Primeira assíntota:
0 - 2 = 3(x+6) ;Longrightarrow; x+6 = -tfrac23 ;Longrightarrow; x = -6 - tfrac23 = -tfrac203
Segunda assíntota:
0 - 2 = -3(x+6) ;Longrightarrow; x+6 = tfrac23 ;Longrightarrow; x = -6 + tfrac23 = -tfrac163

Resposta

Os pontos de interseção das assíntotas com o eixo Ox são
l(-tfrac203,0r) e l(-tfrac163,0r)

Exercícios relacionados