Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=41-3 cos (theta)
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a cônica dada em coordenadas polares por
r=41-3cos(theta),
e queremos encontrar os focos dessa cônica. O conteúdo que vamos aplicar é a conversão para coordenadas cartesianas e o estudo da equação resultante (identificação de centro, eixos e cálculo de c para os focos).

Passo 2

Passamos para coordenadas cartesianas, lembrando que
r=raizx^2+y^2, cos(theta)=xraizx^2+y^2
Substituindo na equação polar:
raizx^2+y^2 = 41 - 3xraizx^2+y^2 Longrightarrow raizx^2+y^2,l(1 - 3tfracxraizx^2+y^2r)=4 Longrightarrow raizx^2+y^2-3x=4

Passo 3

Elevamos ao quadrado e reorganizamos:
raizx^2+y^2=4+3x Longrightarrow x^2+y^2=(4+3x)^2=16+24x+9x^2
Longrightarrow 8x^2+24x+16-y^2=0 Longrightarrow x^2+3x+2-tfrac18y^2=0
Fazendo o completamento de quadrado em x:
x^2+3x+l(tfrac32r)^2 -l(tfrac32r)^2 +2 -tfrac18y^2=0 ;Longrightarrow; (x+tfrac32)^2 -tfrac18y^2 -tfrac14=0
Longrightarrow 8(x+tfrac32)^2 - y^2 =2 Longrightarrow (x+3/2)^21/4 - y^22 =1
É uma hipérbole centrada em l(-tfrac32,0r), com semi-eixo maior a=tfrac12 (direção x) e b=raiz2.

Passo 4

Para hipérbole temos
c^2 = a^2 + b^2 = tfrac14 + 2 = tfrac94,
logo
c = tfrac32

Passo 5

Os focos ficam no centro l(-tfrac32,0r) deslocados de pm c ao longo do eixo x. Assim os focos são
l(-tfrac32 + tfrac32,,0r) = (0,0) e l(-tfrac32 - tfrac32,,0r) = (-3,0)

Resposta

Os focos da cônica são (0,0) e (-3,0).

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