Ache os autovalores e respectivos autoespaços da transformação abaixo.
T: & R^3 (x, y, z) & mapsto(R^3 & mapsto(x+2 z, z, x+2 z)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e os autoespaços da transformação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x+2z,;z,;x+2z,)
Vamos representar T na base canônica, calcular o polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda a fim de encontrar os autoespaços.

Passo 2

Temos a representação matricial de T na base canônica:
A = 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 1 & 0 & 2

Passo 3

O polinômio característico chiA(lambda) é dado por
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = -lambda^2(lambda - 3)
Logo, os autovalores são lambda=0 (com multiplicidade algébrica 2) e lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Para
Das primeira e terceira equações segue , isto é, . Portanto um vetor genérico do autoespaço associado a é
de modo que

Passo 5

Para
Da segunda equação vem . Aqui é livre, logo
e

Resposta

Autovalores e autoespaços de T:
lambda = 3,
E3 = span(3,1,3) lambda = 0,
E0 = span(0,1,0)

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