Em cada item abaixo, decida se a firmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta:
Se uma transformação linear é diagonalizável, então é inversível.
Passo 1
O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa, justificando:
“Se uma transformação linear é diagonalizável, então é inversível.”
O conteúdo envolve as definições de transformação linear diagonalizável e de transformação inversível.
Passo 2
Recordando definições:
– Dizemos que é diagonalizável se existe uma base de formada por autovetores de . Nesse caso, na base apropriada, a matriz de é diagonal
onde cada lambdai é um autovalor de T.
– A transformação T é inversível se, e somente se, nenhum autovalor for zero, pois det[T]B = lambda1lambda2cdotslambdan.
Passo 3
Para que T seja inversível, precisamos que lambdaineq0 para todo i. Mas nada na definição de diagonalizável impede que algum lambdai=0. Por exemplo, considere
Tcolon R^2 to R^2, T(e1) = e1, T(e2) = 0
Na base canônica,
[T] = 1 & 0 0 & 0,
que já é diagonal. Logo T é diagonalizável, mas det[T]=1cdot0=0, ou seja, T não é inversível.
Passo 4
Como mostramos um contraexemplo de T diagonalizável mas não inversível, a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa. A diagonalização permite autovalores nulos, e um autovalor zero torna a transformação não inversível.