Ache os autovalores e respectivos autoespaços da transformação abaixo.
T: & P2 a x^2+b x+c & P2,(-a+3 c) x^2+2 b x+c-b

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2to P2, Tl(a x^2+b x+cr)=(-a+3c),x^2+2b,x+(c-b)
Queremos encontrar todos os autovalores lambda de T e, para cada lambda, o correspondente autoespaço ker(T-lambda I). Para isso, vamos:
  1. Escolher a base x^2,x,1.
  2. Escrever a matriz de T nessa base.
  3. Calcular o polinômio característico e extrair os autovalores.
  4. Resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Na base o vetor representa . Como
a matriz de é
pois

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det -1-lambda & 0 & 3 0 & 2-lambda & 0 0 & -1 & 1-lambda =(-1-lambda),(2-lambda),(1-lambda)
Assim, os autovalores são
lambda1=-1, lambda2=2, lambda3=1

Passo 4

Autovalor . Resolvemos , i.e.
Dessas equações vem
e fica livre. Logo o autoespaço é
isto é, as múltiplas de .

Passo 5

Autovalor . Resolvemos , i.e.
Das equações obtemos

Portanto
correspondente ao polinômio .

Passo 6

Autovalor . Resolvemos , i.e.
Dessas equações vêm

Escolhendo para ter coordenadas inteiras, . Logo
isto é, múltiplas de .

Resposta

Autovalores e autoespaços de T:
lambda=-1,;E-1=spanx^2
lambda=2,;E2=spanx^2 - x +1
lambda=1,;E1=span3x^2+2

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