Ache os autovalores e respectivos autoespaços da transformação abaixo.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar todos os autovalores
de
e, para cada
, o correspondente autoespaço
. Para isso, vamos:
- Escolher a base
. - Escrever a matriz de
nessa base. - Calcular o polinômio característico e extrair os autovalores.
- Resolver
para cada .
Passo 2
Na base
o vetor
representa
. Como
a matriz
de
é
pois
Passo 3
O polinômio característico é
Assim, os autovalores são
Passo 4
Autovalor
. Resolvemos
, i.e.
Dessas equações vem
e
fica livre. Logo o autoespaço é
isto é, as múltiplas de
.
Passo 5
Autovalor
. Resolvemos
, i.e.
Das equações obtemos
Portanto
Portanto
correspondente ao polinômio
.
Passo 6
Autovalor
. Resolvemos
, i.e.
Dessas equações vêm
Escolhendo para ter coordenadas inteiras,
. Logo
Escolhendo
isto é, múltiplas de
.
Resposta
Autovalores e autoespaços de
T :
lambda=-1,;E-1=spanx^2
lambda=2,;E2=spanx^2 - x +1
lambda=1,;E1=span3x^2+2