Em cada item abaixo, decida se a firmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta:
Seja
uma transformação linear e sejam
autovetores de
associados a autovalores
. Se o conjunto
é
então
Seja
Passo 1
O enunciado apresenta uma transformação linear
e dois autovetores
com autovalores
. Diz-se que o conjunto
é linearmente dependente (LD) e pede-se para decidir se isso implica
. O conteúdo envolve definição de autovetor, autovalor e dependência linear.
Passo 2
Se
é LD e
,
(pois autovetores são não-nulos), então existem
, não ambos nulos, tais que
Como
, devemos ter
para combinar com
. Isolando
:
onde
.
Passo 3
Aplicando
em
usando a linearidade de
, obtemos
Por outro lado, como
é autovetor associado a
,
E como
é autovetor associado a
,
Logo,
Passo 4
Como
e
, podemos dividir por
, dando
. Concluímos que a afirmação é verdadeira.
Resposta
Verdadeira