Em cada item abaixo, decida se a firmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta:
Seja T: V V uma transformação linear e sejam v, v^prime in V autovetores de T associados a autovalores lambda, lambda^prime in R. Se o conjunto v, v^prime é LD então lambda=lambda^prime

Passo 1

O enunciado apresenta uma transformação linear Tcolon Vto V e dois autovetores v,v'in V com autovalores lambda,lambda'inR. Diz-se que o conjunto v,v' é linearmente dependente (LD) e pede-se para decidir se isso implica lambda=lambda'. O conteúdo envolve definição de autovetor, autovalor e dependência linear.

Passo 2

Se v,v' é LD e vneq0, v'neq0 (pois autovetores são não-nulos), então existem alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha v + beta v' = 0
Como vneq0, devemos ter betaneq0 para combinar com v'. Isolando v':
v' = -alphabeta,v equiv gamma v,
onde gamma = -alpha/betaneq0.

Passo 3

Aplicando T em v' usando a linearidade de T, obtemos
T(v') = T(gamma v) = gamma,T(v)
Por outro lado, como v' é autovetor associado a lambda',
T(v') = lambda',v' = lambda'(gamma v)
E como v é autovetor associado a lambda,
T(v) = lambda,v
Logo,
gamma,T(v) = lambda',gamma v Longrightarrow gamma(lambda v) = gamma(lambda' v)

Passo 4

Como gammaneq0 e vneq0, podemos dividir por gamma v, dando lambda=lambda'. Concluímos que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira

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