Ache os autovalores da transformação linear T: R^3 R^3 dada por:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(y, 2 y-z,-y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (y, 2y - z, -y) . Nosso objetivo é encontrar os autovalores dessa transformação. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes e resolver uma equação característica que nos dará esses valores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, primeiro precisamos representar a transformação linear T como uma matriz. Observando a definição de T :
T(x, y, z) = y 2y - z -y
Podemos escrever a matriz A que representa T assim:
A = 0 & 1 & 0 0 & 2 & -1 0 & -1 & 0
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes que multiplicam x , y e z nas equações de T .

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores lambda , precisamos resolver a equação característica dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 3. Subtraindo lambda da diagonal principal de A , temos:
A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & 2 - lambda & -1 0 & -1 & -lambda

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda & 1 & 0 0 & 2 - lambda & -1 0 & -1 & -lambda
Para facilitar, podemos expandir o determinante pela primeira coluna:
det(A - lambda I) = -lambda cdot 2 - lambda & -1 -1 & -lambda - 1 cdot 0 & -1 0 & -lambda + 0 cdot (determinante qualquer)
Calculando os menores determinantes:
2 - lambda & -1 -1 & -lambda = (2 - lambda)(-lambda) - (-1)(-1) = -2lambda + lambda^2 - 1
0 & -1 0 & -lambda = 0 cdot (-lambda) - (-1) cdot 0 = 0

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = -lambda cdot (-2lambda + lambda^2 - 1) - 1 cdot 0 + 0 = lambda (2lambda - lambda^2 + 1) = 0
Arrumando os termos:
-lambda^3 + 2lambda^2 + lambda = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 2lambda^2 - lambda = 0

Passo 6

Fatorando a equação:
lambda (lambda^2 - 2lambda - 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. lambda = 0
  2. lambda^2 - 2lambda - 1 = 0
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2

Resposta

Os autovalores da transformação linear T são lambda = 0 , lambda = 1 + raiz2 e lambda = 1 - raiz2 .

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