Calcule m e n para que r esteja contida em pi.
r: X=(n, 2,0)+lambda(2, m, m)
pi: n x-n y+n z=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar (m,n) tais que a reta
r: X = (n,2,0) + lambda,(2,m,m)
esteja contida no plano
pi: n,x ;-; n,y ;+; n,z ;=; 1
O conteúdo aqui é geometria analítica de reta e plano: precisamos (i) garantir que o vetor diretor de r seja paralelo ao plano (ou seja, ortogonal ao normal de pi) e (ii) garantir que um ponto de r satisfaça a equação de pi.

Passo 2

O vetor normal de pi é
N = (n,,-n,,n),
e o vetor diretor de r é
v = (2,,m,,m)
Para que v seja paralelo ao plano, devemos ter
N cdot v = 0

Passo 3

Calculemos o produto escalar:
Ncdot v = ncdot 2 + (-n)cdot m + ncdot m = 2n + (-n m + n m) = 2n
A condição Ncdot v=0
2n = 0 Longrightarrow n = 0

Passo 4

Para que a reta esteja em pi, o ponto P0=(n,2,0) também deve satisfazer a equação de pi:
ncdot n ;-; ncdot 2 ;+; ncdot 0 ;=; 1 Longrightarrow n^2 - 2n = 1
Mas, do Passo 3, temos n=0. Substituindo em n^2-2n=1 obtemos
0^2 - 2cdot 0 = 0 neq 1,
o que é impossível.

Resposta

Não existem valores de m e n tais que a reta r esteja contida no plano pi.

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