Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se T: R^4 M2(R) é tal que N(T)=0 então o conjunto T(1,0,0,0), T(0,1,0,0), T(0,0,1,0) é um conjunto LI.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com transformações lineares no contexto de álgebra linear. O exercício pergunta se, dada uma transformação linear T: R^4 M2(R) que tem só o vetor zero no seu núcleo ( N(T) = 0 ), o conjunto formado por T(1,0,0,0), T(0,1,0,0), T(0,0,1,0) é linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e o que é um conjunto linearmente independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Se o núcleo de T é 0 , isso significa que a única solução para T(v) = 0 é v = 0 . Basicamente, T não “colapsa” vetores diferentes no mesmo ponto.

Passo 3

Agora, sobre linearmente independente: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 só tiver a solução a1 = a2 = a3 = 0 , então o conjunto é LI.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto T(1,0,0,0), T(0,1,0,0), T(0,0,1,0) . Suponha que exista uma combinação linear desses vetores que dê zero:
a1 T(1,0,0,0) + a2 T(0,1,0,0) + a3 T(0,0,1,0) = 0
Pela linearidade de T , isso equivale a:
T(a1(1,0,0,0) + a2(0,1,0,0) + a3(0,0,1,0)) = T(a1, a2, a3, 0) = 0

Passo 5

Como T é injetora ( N(T) = 0 ), a única solução para T(a1, a2, a3, 0) = 0 é a1 = a2 = a3 = 0 . Isso significa que a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero, o que confirma que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

VERDADEIRO. O conjunto T(1,0,0,0), T(0,1,0,0), T(0,0,1,0) é linearmente independente.

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