Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
é tal que
então o conjunto
é um conjunto LI.
Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com transformações lineares no contexto de álgebra linear. O exercício pergunta se, dada uma transformação linear
que tem só o vetor zero no seu núcleo (
), o conjunto formado por
é linearmente independente (LI). Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e o que é um conjunto linearmente independente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Se o núcleo de
é
, isso significa que a única solução para
é
. Basicamente,
não “colapsa” vetores diferentes no mesmo ponto.
Passo 3
Agora, sobre linearmente independente: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
só tiver a solução
, então o conjunto é LI.
Passo 4
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Suponha que exista uma combinação linear desses vetores que dê zero:
Pela linearidade de
, isso equivale a:
Passo 5
Como
é injetora (
), a única solução para
é
. Isso significa que a única combinação linear que dá zero é quando todos os coeficientes são zero, o que confirma que o conjunto é linearmente independente.
Resposta
VERDADEIRO. O conjunto
é linearmente independente.