Ache o(s) autovalor(es) e autovetor(es) da transformação linear dada por:
Verifique se é diagonalizável, ou seja, se a matriz correspondente a é diagonalizável. Se sim, encontre a decomposição espectral de A , tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Depois, vamos verificar se a matriz que representa essa transformação é diagonalizável. Se for, a gente também vai encontrar a decomposição espectral da matriz, ou seja, escrever , onde é uma matriz diagonal e é a matriz dos autovetores.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar autovalores e autovetores, entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e saber como construir a decomposição espectral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação . Sabemos que , então a matriz dessa transformação linear é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
Da primeira equação, temos v2 = 0 . O v1 pode ser qualquer número real. Então, os autovetores são da forma:
v = v1 0 , v1 in R
Podemos escolher v1 = 1 para simplificar, então um autovetor é 1 0 .
Passo 6
Agora, vamos verificar se a matriz A é diagonalizável. Para uma matriz ser diagonalizável, precisamos ter um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme uma base do espaço. No caso, nosso único autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2 (pois a equação característica (1 - lambda)^2 = 0 tem raiz dupla), mas a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) é 1, já que todos os autovetores são múltiplos de 1 0 .
Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, a matriz A não é diagonalizável.
Resposta
Portanto, o único autovalor de T é lambda = 1 com o autovetor 1 0 . A matriz correspondente a T não é diagonalizável, então não existe uma decomposição espectral A = P cdot D cdot P^-1 .