Ache o(s) autovalor(es) e autovetor(es) da transformação linear T: R^2 R^2 dada por:
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+y, y)
Verifique se T é diagonalizável, ou seja, se a matriz correspondente a T é diagonalizável. Se sim, encontre a decomposição espectral de A , tal que A=P cdot D cdot P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x + y, y) . Depois, vamos verificar se a matriz que representa essa transformação é diagonalizável. Se for, a gente também vai encontrar a decomposição espectral da matriz, ou seja, escrever A = P cdot D cdot P^-1 , onde D é uma matriz diagonal e P é a matriz dos autovetores.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar autovalores e autovetores, entender o que significa uma matriz ser diagonalizável e saber como construir a decomposição espectral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação T . Sabemos que T(x, y) = (x + y, y) , então a matriz A dessa transformação linear é:
A = 1 & 1 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade de ordem 2:
I = 1 & 0 0 & 1
Então, temos:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 0 & 1 - lambda

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1 cdot 0) = (1 - lambda)^2
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
(1 - lambda)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor é lambda = 1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = 1 . Para isso, resolvemos a equação:
(A - lambda I)v = 0
Substituindo lambda = 1 e A - lambda I :
0 & 1 0 & 0 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá as equações:
0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
Da primeira equação, temos v2 = 0 . O v1 pode ser qualquer número real. Então, os autovetores são da forma:
v = v1 0 , v1 in R
Podemos escolher v1 = 1 para simplificar, então um autovetor é 1 0 .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a matriz A é diagonalizável. Para uma matriz ser diagonalizável, precisamos ter um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme uma base do espaço. No caso, nosso único autovalor lambda = 1 tem multiplicidade algébrica 2 (pois a equação característica (1 - lambda)^2 = 0 tem raiz dupla), mas a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) é 1, já que todos os autovetores são múltiplos de 1 0 .
Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

Portanto, o único autovalor de T é lambda = 1 com o autovetor 1 0 . A matriz correspondente a T não é diagonalizável, então não existe uma decomposição espectral A = P cdot D cdot P^-1 .

Exercícios relacionados