Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se v satisfaz T v=lambda v, com v neq 0, então T^3(v)=T(T(T(v)))=lambda v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação é: “Se v satisfaz T v = lambda v, com v neq 0, então T^3(v) = T(T(T(v))) = lambda v.” Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre operadores lineares e valores próprios. Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e álgebra de potências de operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa T v = lambda v. Isso quer dizer que v é um vetor próprio (ou eigenvetor) do operador linear T, com lambda sendo o valor próprio correspondente. Ou seja, ao aplicar T no vetor v, o resultado é o próprio vetor v multiplicado por lambda.

Passo 3

Agora, vamos calcular T^3(v). Isso significa aplicar o operador T três vezes seguidas no vetor v:
T^3(v) = T(T(T(v)))
Vamos resolver passo a passo:
  1. Primeiro, calculamos T(v) = lambda v.
  2. Em seguida, aplicamos T novamente: T(T(v)) = T(lambda v). Como T é linear, podemos tirar a constante lambda para fora, ficando lambda T(v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v.
  3. Por fim, aplicamos T mais uma vez: T(T(T(v))) = T(lambda^2 v) = lambda^2 T(v) = lambda^2 (lambda v) = lambda^3 v.

Passo 4

Agora, comparamos o resultado obtido com a afirmação inicial. A afirmação diz que T^3(v) = lambda v, mas calculamos que T^3(v) = lambda^3 v.
Isso só seria igual a lambda v se lambda^3 = lambda. Essa igualdade ocorre apenas se lambda for 0, 1 ou -1. Para valores de lambda diferentes desses, a igualdade não se sustenta.

Passo 5

Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral. Para ilustrar, vamos considerar um exemplo com lambda = 2:
  • Se T v = 2 v, então T^3(v) = 2^3 v = 8 v, que claramente não é igual a 2 v.

Resposta

FALSO. Em geral, T^3(v) = lambda^3 v, o que só é igual a lambda v se lambda for 0, 1 ou -1. Por exemplo, se lambda = 2, então T^3(v) = 8 v neq 2 v.

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