Em cada uma das afirmações a seguir, classifique em verdadeiro ou falso. Se for FALSO apresente um contra-exemplo ou um argumento que justifique. Se for VERDADEIRO justifique a classificação.
Se
satisfaz
, com
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para classificar uma afirmação como verdadeira ou falsa. A afirmação é: “Se
satisfaz
, com
, então
.” Estamos lidando com conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre operadores lineares e valores próprios. Para resolver, vamos usar propriedades de operadores lineares e álgebra de potências de operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é um vetor próprio (ou eigenvetor) do operador linear
, com
sendo o valor próprio correspondente. Ou seja, ao aplicar
no vetor
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso significa aplicar o operador
três vezes seguidas no vetor
:
Vamos resolver passo a passo:
- Primeiro, calculamos
. - Em seguida, aplicamos
novamente: . Como é linear, podemos tirar a constante para fora, ficando . - Por fim, aplicamos
mais uma vez: .
Passo 4
Agora, comparamos o resultado obtido com a afirmação inicial. A afirmação diz que
, mas calculamos que
.
Isso só seria igual a
se
. Essa igualdade ocorre apenas se
for 0, 1 ou -1. Para valores de
diferentes desses, a igualdade não se sustenta.
Passo 5
Portanto, a afirmação não é verdadeira em geral. Para ilustrar, vamos considerar um exemplo com
:
- Se
, então , que claramente não é igual a .
Resposta
FALSO. Em geral,
, o que só é igual a
se
for 0, 1 ou -1. Por exemplo, se
, então
.