Verifique se o conjunto
é LI ou LD no espaço
indicado:
Passo 1
O enunciado pede verificar se o conjunto X = {(1,0,1,0,1,0), (0,1,0,1,0,1), (1,2,3,3,2,1), (-1,-2,-3,1,2,3), (-1,0,1,0,-1,0), (1,1,1,1,1,1), (9,8,7,6,5,4)} em E = ℝ^6 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). Precisamos usar a definição de combinação linear e o teorema da dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Por definição, um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que gera o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Caso exista alguma combinação não trivial que dê o vetor zero, o conjunto é LD. Além disso, o teorema da dimensão afirma que em ℝⁿ qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD.
Passo 3
Aqui temos 7 vetores em ℝ^6, ou seja, 7 > 6. Pelo teorema da dimensão de espaços vetoriais concluímos diretamente que X é LD.
Passo 4
Para ilustrar a dependência, note que v₁ + v₂ = (1,0,1,0,1,0) + (0,1,0,1,0,1) = (1,1,1,1,1,1) = v₆. Logo existe a combinação não trivial v₁ + v₂ − v₆ = 0.
Resposta
O conjunto X é linearmente dependente.