3 Seja
uma isometria de um espaço euclidiano
. Mostrar que
conserva o cosseno do ângulo entre dois vetores não nulos de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma isometria em um espaço euclidiano
, então o cosseno do ângulo entre quaisquer vetores não nulos
em
é o mesmo que entre
e
. O conteúdo envolve produto interno, norma e definição de isometria.
Passo 2
Em um espaço euclidiano, o cosseno do ângulo
entre dois vetores não nulos
e
é definido por
Isso vem diretamente da relação entre produto interno e geometria.
Passo 3
Por definição, uma isometria
preserva distâncias: para todo
,
. Em particular, tomando
fica
e também podemos usar a identidade de polarização para mostrar que
conserva o produto interno:
Como
preserva normas, todas as normas acima são iguais às originais, logo
.
Passo 4
Agora basta juntar tudo na definição de cosseno:
Isso mostra que o cosseno do ângulo é invariante por
.
Resposta
Para quaisquer vetores não nulos
, vale
portanto
conserva o cosseno do ângulo.