3 Seja T uma isometria de um espaço euclidiano V. Mostrar que T conserva o cosseno do ângulo entre dois vetores não nulos de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se T é uma isometria em um espaço euclidiano V, então o cosseno do ângulo entre quaisquer vetores não nulos v,w em V é o mesmo que entre T(v) e T(w). O conteúdo envolve produto interno, norma e definição de isometria.

Passo 2

Em um espaço euclidiano, o cosseno do ângulo theta entre dois vetores não nulos v e w é definido por
costheta = lang<= v,wrang<=|v|,|w|
Isso vem diretamente da relação entre produto interno e geometria.

Passo 3

Por definição, uma isometria T preserva distâncias: para todo x,y, |T(x)-T(y)|=|x-y|. Em particular, tomando y=0 fica
|T(v)|=|T(v)-T(0)|=|v-0|=|v|,
e também podemos usar a identidade de polarização para mostrar que T conserva o produto interno:
lang<= T(v),T(w)rang<= = tfrac12l(|T(v)+T(w)|^2 - |T(v)|^2 - |T(w)|^2r)
Como T preserva normas, todas as normas acima são iguais às originais, logo
lang<= T(v),T(w)rang<==lang<= v,wrang<=.

Passo 4

Agora basta juntar tudo na definição de cosseno:
cosang<=(Tv,Tw) = lang<= T(v),T(w)rang<=|T(v)|,|T(w)| = lang<= v,wrang<=|v|,|w| = cosang<=(v,w)
Isso mostra que o cosseno do ângulo é invariante por T.

Resposta

Para quaisquer vetores não nulos v,win V, vale
cosang<=(Tv,Tw) = lang<= T(v),T(w)rang<=|T(v)|,|T(w)| = lang<= v,wrang<=|v|,|w| = cosang<=(v,w),
portanto T conserva o cosseno do ângulo.

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