Ache a base e a dimensão para o espaço soluções do sistema:
b) l4x-3y-z+t=0 x-y-2z-t=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com quatro incógnitas e duas equações:
Queremos encontrar o espaço de soluções (o núcleo), ou seja, uma base desse espaço e sua dimensão. Para isso, vamos resolver o sistema por eliminação e depois parametrizar as soluções.

Passo 2

Da segunda equação
x - y - 2z - t = 0
isolamos x:
x = y + 2z + t
Substituindo esse valor de x na primeira equação
4x - 3y - z + t = 0
temos
4(y + 2z + t) - 3y - z + t = 0 Longrightarrow y + 7z + 5t = 0,
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y = -7z - 5t

Passo 3

Agora voltamos em
x = y + 2z + t
com y = -7z - 5t, obtendo
x = (-7z - 5t) + 2z + t = -5z - 4t
Portanto a solução geral do sistema é
(x,y,z,t) = (-5z - 4t,,-7z - 5t,,z,,t) = z,(-5,-7,1,0) + t,(-4,-5,0,1)

Passo 4

Os vetores (-5,-7,1,0) e (-4,-5,0,1) são linearmente independentes e geram todo o espaço solução. Assim:
  • Uma base do espaço solução é (-5,-7,1,0),,(-4,-5,0,1)
  • A dimensão desse espaço é 2.

Resposta

A base do espaço solução é (-5,-7,1,0),,(-4,-5,0,1).\nA dimensão do espaço solução é 2.

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