Dado V um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
b) C=v1, v2, v3, v4 subset V, é L.D. se, e somente se, existe i in 1,2,3,4; tal que vi é combinação linear das outros;

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial real V e o conjunto
,C=v1,v2,v3,v4subset V.
Queremos mostrar que C é linearmente dependente se, e somente se, existe
iin1,2,3,4 tal que vi seja combinação linear dos outros vetores de C. Para isso vamos usar a definição de dependência linear e manipular combinações lineares.

Passo 2

(Prova de “ Rightarrow”) Suponha que C é linearmente dependente. Então existem escalares alpha1,alpha2,alpha3,alpha4, nem todos zero, tais que
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4=0
Como nem todos os alphai são zero, existe algum índice j com alphajneq0. Então podemos isolar vj:
vj=-1alphajsumineq jalphaivi,
mostrando que vj é combinação linear dos demais.

Passo 3

(Prova de “ Leftarrow”) Suponha que existe kin1,2,3,4 tal que
vk=beta1v1+cdots+betak-1vk-1+betak+1vk+1+cdots+beta4v4
Então trazemos todos os termos para um lado e obtemos uma combinação linear não trivial igual a zero:
(-1),vk+beta1v1+cdots+betak-1vk-1+betak+1vk+1+cdots+beta4v4=0,
onde o coeficiente de vk é -1neq0. Logo C é linearmente dependente.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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