Dado
um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
b)
, é L.D. se, e somente se, existe
; tal que
é combinação linear das outros;
b)
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial real
e o conjunto
.
Queremos mostrar que é linearmente dependente se, e somente se, existe
tal que
seja combinação linear dos outros vetores de
. Para isso vamos usar a definição de dependência linear e manipular combinações lineares.
Queremos mostrar que
Passo 2
(Prova de “
”) Suponha que
é linearmente dependente. Então existem escalares
, nem todos zero, tais que
Como nem todos os
são zero, existe algum índice
com
. Então podemos isolar
:
mostrando que
é combinação linear dos demais.
Passo 3
(Prova de “
”) Suponha que existe
tal que
Então trazemos todos os termos para um lado e obtemos uma combinação linear não trivial igual a zero:
onde o coeficiente de
é
. Logo
é linearmente dependente.
Resposta
A afirmação é verdadeira.