Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 120^circ, determine o ângulo formado pelos vetores:
(a) u e-v;
(b) -u e-v;
(c) -u e v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A gente tem dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 120^circ entre si. A gente precisa descobrir os ângulos formados pelas combinações desses vetores quando um ou ambos são invertidos, ou seja, quando a gente considera -u ou -v. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como o ângulo entre vetores e como a inversão de um vetor afeta esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa inverter um vetor. Quando a gente tem um vetor v e o inverte para -v, estamos apenas mudando a direção dele para o sentido oposto, mas sem mudar seu tamanho. Geometricamente, isso equivale a rotacionar o vetor 180^circ.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): determinar o ângulo entre u e -v. Já sabemos que o ângulo entre u e v é 120^circ. Como invertendo v para -v mudamos a direção dele, o novo ângulo será o suplemento do ângulo original. Ou seja:
Novo ângulo = 180^circ - 120^circ = 60^circ â

Passo 4

Na parte (b), precisamos encontrar o ângulo entre -u e -v. Aqui, dois vetores foram invertidos. Cada inversão muda a direção do vetor, mas quando ambos são invertidos, a relação angular entre eles permanece a mesma que a original. Portanto, o ângulo entre -u e -v continua sendo:
120^circ

Passo 5

Finalmente, na parte (c), temos que determinar o ângulo entre -u e v. Similar à parte (a), apenas um dos vetores foi invertido. Assim como antes, o ângulo será o suplemento do ângulo original:
Novo ângulo = 180^circ - 120^circ = 60^circ â

Resposta

a) 60^circ;
b) 120^circ;
c) 60^circ.

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