Dado
um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
d) Se
e
é L.D, então
é L.D;
d) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial real
, dado um conjunto
que é linearmente dependente (L.D.) e um subconjunto
, podemos garantir que
também seja L.D. O conteúdo aqui é dependência linear de conjuntos de vetores.
Passo 2
Lembremos a definição:
Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos tais que
Um conjunto de vetores
Caso contrário (se a única combinação que dá zero é a trivial, com todos os
), dizemos que
é linearmente independente.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo. Considere
onde
e
.
- Mostramos que
é L.D. porque
é uma combinação não trivial dando o vetor zero.
2. Tome o subconjunto
2. Tome o subconjunto
Para verificar que
é linearmente independente, veja que
Logo
não é L.D.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
, que é L.D., enquanto
é L.I.