Dado V um espaço vetorial real. Verifique se é falsa ou verdadeira as afirmações abaixo e justifique, ou seja, se verdadeira prove e se falsa dê um contra-exemplo.
d) Se S1 subset S subset V e S é L.D, então S1 é L.D;

Passo 1

O enunciado pergunta se, em um espaço vetorial real V, dado um conjunto Ssubset V que é linearmente dependente (L.D.) e um subconjunto S1subset S, podemos garantir que S1 também seja L.D. O conteúdo aqui é dependência linear de conjuntos de vetores.

Passo 2

Lembremos a definição:
Um conjunto de vetores Xsubset V é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos tais que
sumvin X lambdav,v = 0
Caso contrário (se a única combinação que dá zero é a trivial, com todos os lambdav=0), dizemos que X é linearmente independente.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta um contra-exemplo. Considere
V=R^2, S = ,e1,,e2,,e1+e2
onde e1=(1,0) e e2=(0,1).
  1. Mostramos que S é L.D. porque
(e1+e2) ;-; e1 ;-; e2 ;=;0
é uma combinação não trivial dando o vetor zero.
2. Tome o subconjunto
S1=,e1,,e2
Para verificar que S1 é linearmente independente, veja que
alpha,e1 + beta,e2 = 0 Longrightarrow (alpha,,beta)=(0,0)
Logo S1 não é L.D.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é S=e1,e2,e1+e2subsetR^2, que é L.D., enquanto S1=e1,e2 é L.I.

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