Ache uma base e a dimensão de U, W, U cap W e U+W, onde U=(x, y, z, t) in R^4 mid y+z+t=0 e W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 ; z=2 t.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^4:
U = (x,y,z,t)inR^4 mid y+z+t=0,
W = (x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0,;z=2t
Queremos encontrar base e dimensão de U, de W, de Ucap W e de U+W. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: parametrização por variáveis livres, interseção por resolver sistemas, e fórmula dim(U+W)=dim U + dim W - dim(Ucap W).

Passo 2

Para U há a única equação linear y+z+t=0. Tomamos como livres x,a,y (vou renomear a=y, b=z), e então t=-a-b. Assim
(x,y,z,t) = (x,a,b,,-a-b) = x,(1,0,0,0) ;+; a,(0,1,0,-1);+; b,(0,0,1,-1)
Logo uma base de U é
(1,0,0,0),;(0,1,0,-1),;(0,0,1,-1),
e dim(U)=3.

Passo 3

Para W temos y=-x e z=2t. Tomamos livres x e t. Então
(x,y,z,t) = (x,-x,2t,t) = x,(1,-1,0,0);+;t,(0,0,2,1)
Assim uma base de W é
(1,-1,0,0),;(0,0,2,1),
e dim(W)=2.

Passo 4

Um vetor em W é (x,-x,2t,t). Para estar em U precisa satisfazer -x + 2t + t = 0, isto é
-x + 3t = 0 Longrightarrow x = 3t
Logo todo vetor de Ucap W é
(3t,,-3t,,2t,,t) = t,(3,-3,2,1)
Portanto uma base de Ucap W é
(3,-3,2,1),
e dim(Ucap W)=1.

Passo 5

Pela fórmula de dimensões:
dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(Ucap W) = 3 + 2 - 1 = 4
Como dim(R^4)=4, segue que U+W=R^4. Uma base conveniente de U+W é a base canônica de R^4:
(1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

Resposta

Base de U: (1,0,0,0),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1), dim(U)=3.
Base de W: (1,-1,0,0),,(0,0,2,1), dim(W)=2.
Base de Ucap W: (3,-3,2,1), dim(Ucap W)=1.
Base de U+W: (1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1), dim(U+W)=4.

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