Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre . Determine se as matrizes são LD, sabendo que e C=[ll1 & 1 0 & 0].
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as matrizes
A=1 & 11 & 1, B=1 & 00 & 1, C=1 & 10 & 0
no espaço vetorial V de todas as matrizes 2times2 sobre R são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear: se existir alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0,
então elas são linearmente dependentes; caso contrário, são independentes.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e igualamos à matriz nula:
Do terceiro item alpha = 0. Substituindo em alpha + gamma=0 dá gamma=0.
Em seguida, alpha + beta=0 com alpha=0 dá beta=0.
Por fim, alpha + beta + gamma=0 já está satisfeita.
Passo 4
O único vetor de coeficientes (alpha,beta,gamma) que zera a combinação é (0,0,0). Isso significa que não há combinação linear não trivial.
Resposta
As matrizes A, B e C são linearmente independentes.