Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre R. Determine se as matrizes A, B, C in V são LD, sabendo que A=[ll1 & 1 1 & 1], B=[ll1 & 0 0 & 1] e C=[ll1 & 1 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A=1 & 11 & 1, B=1 & 00 & 1, C=1 & 10 & 0
no espaço vetorial V de todas as matrizes 2times2 sobre R são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear: se existir alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0,
então elas são linearmente dependentes; caso contrário, são independentes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos à matriz nula:
alpha A + beta B + gamma C = alpha1 & 11 & 1 + beta1 & 00 & 1 + gamma1 & 10 & 0 = 0 & 00 & 0
Somando as entradas, obtemos o sistema
alpha + beta + gamma = 0, &(posição (1,1)) alpha + 0beta + gamma = 0, &(posição (1,2)) alpha + 0beta + 0gamma = 0, &(posição (2,1)) alpha + beta + 0gamma = 0, &(posição (2,2)) çãçãçãçã

Passo 3

Do terceiro item alpha = 0. Substituindo em
alpha + gamma=0 gamma=0.
Em seguida, alpha + beta=0 com alpha=0 beta=0.
Por fim, alpha + beta + gamma=0 já está satisfeita.

Passo 4

O único vetor de coeficientes (alpha,beta,gamma) que zera a combinação é (0,0,0). Isso significa que não há combinação linear não trivial.

Resposta

As matrizes A, B e C são linearmente independentes.

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