[valor: 2,5 ] Considere o subconjunto dos vetores V na forma v=(v1, v2, 0), com v1, v2 in R e v in R^3, ou seja
V=v=(v1, v2, 0) mid v1, v2 in R, v in R^3, e alpha um escalar onde alpha in R.
V é um Subespaço Vetorial? Justifique mostrando as contas para as operações de Soma e Multiplicação por escalar.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
V = vec v = (v1,v2,0)mid v1,v2inRsubsetR^3
Queremos verificar se V é subespaço vetorial de R^3 mostrando que está fechado sob soma e sob multiplicação por escalar (além de conter o vetor zero).

Passo 2

Fechamento sob soma. Suponha
vec u=(u1,u2,0)inV e
vec v=(v1,v2,0)inV.
Então
vec u+vec v = (u1+v1,,u2+v2,,0+0) =(u1+v1,,u2+v2,,0)
Como u1+v1inR e u2+v2inR, segue que vec u+vec vinV.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e
vec u=(u1,u2,0)inV. Então
alpha,vec u = (alpha u1,,alpha u2,,alphacdot 0) =(alpha u1,,alpha u2,,0)
Como alpha u1,alpha u2inR, concluímos que alphavec uinV.

Passo 4

Vetor zero. O vetor zero de R^3 é
vec 0=(0,0,0), cuja terceira componente é zero, logo vec 0inV.

Resposta

Sim, V é um subespaço vetorial de R^3, pois contém o vetor zero e está fechado sob soma e multiplicação por escalar.

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