Seja o espaço vetorial das matrizes 2 x 2 sobre . Determine se as ma e D=[ll0 & 0 0 & 1] formam uma base de V.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as matrizes
A = 1 & 10 & 0, B = 0 & 11 & 0, C = 0 & 01 & 1, D = 0 & 00 & 1
formam uma base do espaço vetorial V de todas as matrizes 2times2 reais. O conteúdo envolvido é base de um espaço vetorial, independência linear e dimensão.
Passo 2
Sabemos que dim(V)=4. Portanto, um conjunto de quatro vetores (ou matrizes) em V é base se, e somente se, for linearmente independente.
Passo 3
Considere a combinação linear genérica
alpha A + beta B + gamma C + de<a D = 02times2
Igualando entrada a entrada com a matriz nula, obtemos:
pela posição (1,1),
alpha = 0;
pela posição (1,2),
alpha + beta = 0;
pela posição (2,1),
beta + gamma = 0;
pela posição (2,2),
gamma + de<a = 0
Passo 4
Da primeira equação segue alpha=0. Substituindo em alpha + beta=0 dá beta=0. Em seguida beta+gamma=0 gera gamma=0 e finalmente gamma+de<a=0 leva a de<a=0. Assim, só existe a solução trivial, logo A,B,C,D são linearmente independentes.
Resposta
Sim. Como temos quatro matrizes em um espaço de dimensão quatro e elas são linearmente independentes, A,B,C,D formam uma base de V.