[valor : 2, 5] Considere os vetores:
u1=(1,2,1), u2=(1,0,2), u3=(1,1,0)
u1, u2 e u3. formam uma base para R^3 ? Mostre as contas.

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores vec u1=(1,2,1), vec u2=(1,0,2) e vec u3=(1,1,0) formam uma base de R^3. Para isso, basta verificar se eles são linearmente independentes. Num espaço de dimensão 3, três vetores são independentes se o determinante da matriz formada por eles for diferente de zero.

Passo 2

Organizamos os vetores como linhas (ou colunas) de uma matriz M. Aqui usaremos como linhas:
M = 1 & 2 & 1 1 & 0 & 2 1 & 1 & 0
Se det(M)neq0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^3.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) =1cdotl(0cdot0-2cdot1r) -2cdotl(1cdot0-2cdot1r) +1cdotl(1cdot1-0cdot1r) =-2-2(-2)+1=3

Passo 4

Como det(M)=3neq0, concluímos que vec u1, vec u2 e vec u3 são linearmente independentes e, tendo três vetores em R^3, eles geram todo o espaço.

Resposta

Sim. Os vetores formam uma base de R^3 pois det(M)=3neq0.

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