Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
f_{13}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, f_{13}(x)=(x, x+2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{13}\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{2},\quad f_{13}(x)=(x,\;x+2)
e pede para verificar se é transformação linear. O conteúdo a usar é a definição de transformação linear, que exige conservação da soma de vetores e multiplicação por escalar (ou, de modo equivalente, que o vetor nulo seja enviado no vetor nulo).

Passo 2

Uma aplicação f é transformação linear se, e somente se, para todo u,v\in\mathbb{R} e todo escalar \lambda, valem
  1. f(u+v)=f(u)+f(v)
  2. f(\lambda u)=\lambda f(u)
    Um critério imediato e equivalente é checar se
f(0)=0_{\mathbb{R}^2}.

Passo 3

Calculando
f_{13}(0) = (0,\;0+2) = (0,2)\neq(0,0).
Como o vetor nulo de \mathbb{R} não vai para o vetor nulo de \mathbb{R}^2, a linearidade falha.

Resposta

f_{13} não é transformação linear.

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