Ache uma base e a dimensão do subespaço W de \mathbb{R}^{3}, onde:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço W\subset\mathbb{R}^3 definido pela equação linear z=3x. O conteúdo aqui é subespaços vetoriais e descrição paramétrica: vamos expressar todo vetor de W em função de parâmetros livres e extrair um conjunto de geradores.

Passo 2

Como em W vale z=3x, qualquer vetor (x,y,z)\in W pode ser escrito como
(x,y,z)=(x,y,3x)=x\,(1,0,3)+y\,(0,1,0).
Isso mostra que
W=\mathrm{span}\bigl\{(1,0,3),(0,1,0)\bigr\},
ou seja, os vetores (1,0,3) e (0,1,0) geram W.

Passo 3

Para verificar que esses geradores formam uma base, basta notar que não há relação de dependência não trivial entre (1,0,3) e (0,1,0). Logo, eles são linearmente independentes e geram W. Assim, podemos usar
\{(1,0,3),(0,1,0)\}
como base de W e a dimensão de W é igual ao número de vetores dessa base.

Resposta

Base de W: \{(1,0,3),(0,1,0)\}
Dimensão de W: 2

Exercícios relacionados