Ache uma base e a dimensão do subespaço W de R^3, onde:
(c) W=(x, y, z) in R^3 mid z=3 x;

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z)in R^3 mid z = 3x
e pede que encontremos uma base e a dimensão de W. O conteúdo aqui é parametrizar o subespaço dado por uma equação linear e extrair um sistema gerador mínimo.

Passo 2

Da condição z=3x, qualquer vetor em W pode ser escrito como
(x,y,z) = (x,y,3x) = x,(1,0,3) + y,(0,1,0)
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (1,0,3) e (0,1,0).

Passo 3

Verificamos que (1,0,3) e (0,1,0) são linearmente independentes, pois nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Como elas geram W e são independentes, formam uma base de W.

Passo 4

O número de vetores dessa base é o valor de dim W. Como temos dois vetores,
dim W = 2

Resposta

Uma base de W é (1,0,3),,(0,1,0) e dim W = 2.

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