Determine o valor de
para que o ângulo entre os vetores
e
seja
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (-3, a, 1) e queremos achar o valor de a para que o ângulo entre eles seja 45°. Conteúdo envolvido: produto escalar e norma de vetores, e a fórmula
.
Passo 2
Calcular produto escalar e normas:
Passo 3
Produto escalar:
Passo 4
Passo 5
Norma de u:
Passo 6
Passo 7
Norma de v:
Passo 8
Passo 9
Aplicar a relação do ângulo
:
Passo 10
Passo 11
Montar a equação e elevar ao quadrado:
Passo 12
Passo 13
Multiplicar por 2 e arrumar em forma de equação quadrática:
Passo 14
Passo 15
Resolver a equação usando fórmula de Bhaskara:
Passo 16
Passo 17
Verificar sinal do produto escalar para obter
:
Passo 18
É necessário
. Das duas raízes, apenas
Passo 19
Passo 20
satisfaz
, garantindo ângulo de 45° em vez de 135°.