Determine o valor de a para que o ângulo entre os vetores (-1,2,0) e (-3, a, 1) seja 45^circ.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os vetores u = (-1, 2, 0) e v = (-3, a, 1) e queremos achar o valor de a para que o ângulo entre eles seja 45°. Conteúdo envolvido: produto escalar e norma de vetores, e a fórmula u cdot v = |u|,|v|costheta.

Passo 2

Calcular produto escalar e normas:

Passo 3

Produto escalar:

Passo 4

u cdot v = (-1)(-3) + (2)(a) + (0)(1) = 3 + 2a

Passo 5

Norma de u:

Passo 6

|u| = raiz(-1)^2 + 2^2 + 0^2 = raiz5

Passo 7

Norma de v:

Passo 8

|v| = raiz(-3)^2 + a^2 + 1^2 = raiza^2 + 10

Passo 9

Aplicar a relação do ângulo 45^circ:

Passo 10

u cdot v = |u|,|v|cos 45^circ = raiz5,raiza^2 + 10cdot raiz22

Passo 11

Montar a equação e elevar ao quadrado:

Passo 12

(3 + 2a)^2 = l(raiz5,raiza^2 + 10cdot tfracraiz22r)^2 = 5(a^2 + 10)cdot 24 = 5(a^2 +10)2

Passo 13

Multiplicar por 2 e arrumar em forma de equação quadrática:

Passo 14

2(3 + 2a)^2 = 5(a^2 +10) 2(9 +12a +4a^2) = 5a^2 +50 18 +24a +8a^2 = 5a^2 +50 3a^2 +24a -32 = 0

Passo 15

Resolver a equação usando fórmula de Bhaskara:

Passo 16

a = -24 pm raiz24^2 -4cdot3cdot(-32)2cdot3 = -24 pm raiz576+3846 = -24 pm 8raiz156 = -12 pm 4raiz153

Passo 17

Verificar sinal do produto escalar para obter costheta = +tfracraiz22:

Passo 18

É necessário 3+2a>0. Das duas raízes, apenas

Passo 19

a = -12 +4raiz153

Passo 20

satisfaz 3+2a>0, garantindo ângulo de 45° em vez de 135°.

Resposta

a = -12 + 4raiz153

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