(2 pontos) Dada a matriz A=(rrr1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 2 & -5 & 3).
a) Há uma forma preliminar de verificar se a matriz é invertível sem calcular a matriz inversa? Caso positivo, verifique se A é invertível.
b) Caso A seja invertível, determine A^-1 pelo método do escalonamento.

Passo 1

Beleza, tem aí uma matriz
A= 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 2 & -5 & 3
O conteúdo é “determinante e matriz inversa via escalonamento”. Para a) vamos precisar saber que uma matriz é invertível se e só se o seu determinante for diferente de zero. Para b) vamos usar o método de Gauss–Jordan (escalonamento da matriz aumentada [Amid I]).

Passo 2

Primeiro, parte (a): verificar invertibilidade sem achar a inversa.
  1. Teoria: se a matriz é triangular (todos os elementos acima ou abaixo da diagonal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
  2. Note que A tem zeros acima da diagonal (é triangular inferior), então
det(A)=1cdot(-1)cdot3=-3
Como det(A)=-3neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Agora parte (b): achar A^-1 pelo método do escalonamento.
  1. Teoria rápida: para encontrar a inversa de A, montamos a matriz aumentada l[Amid Ir], onde I é a identidade 3times3.
  2. A ideia é usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplo de linha a outra) sem alterar a solução, até a parte esquerda virar I. O que sobrar à direita será A^-1.
Matriz aumentada inicial:
l[Amid Ir]= (ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & -5 & 3 & 0 & 0 & 1 )

Passo 4

Vamos escalonar passo a passo:
  1. Deixar pivô 1 na linha 1 já está ok. Eliminar abaixo:
    • R2 ← R2 + R1
    • R3 ← R3 − 2·R1
      Isso dá
(ccc|ccc 1&0&0&1&0&0 0&-1&0&1&1&0 0&-5&3&-2&0&1 )
  1. Pivô na linha 2, coluna 2 = −1. Para ficar 1, fazemos R2 ← (−1)·R2:
(ccc|ccc 1&0&0&1&0&0 0&1&0&-1&-1&0 0&-5&3&-2&0&1 )
  1. Eliminar na coluna 2 acima/abaixo do pivô:
    • R3 ← R3 + 5·R2
      (R1 já tem zero na coluna 2.)
      Resultado:
(ccc|ccc 1&0&0&1&0&0 0&1&0&-1&-1&0 0&0&3&-7&-5&1 )
  1. Pivô na linha 3, coluna 3 = 3. Fazer R3 ← (1/3)·R3:
(ccc|ccc 1&0&0&1&0&0 0&1&0&-1&-1&0 0&0&1&-tfrac73&-tfrac53&tfrac13 )
Não há mais nada para eliminar (as colunas acima dos pivôs já estão zeradas). O lado esquerdo virou a identidade, então o lado direito é justamente A^-1.

Resposta

Sim, A é invertível porque det(A)=-3neq0.
A inversa de A é
A^-1 = 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 -tfrac73 & -tfrac53 & tfrac13

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