(2 pontos) Dada a matriz .
a) Há uma forma preliminar de verificar se a matriz é invertível sem calcular a matriz inversa? Caso positivo, verifique se A é invertível.
b) Caso A seja invertível, determine A^-1 pelo método do escalonamento.
Passo 1
Beleza, tem aí uma matriz
A= 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 2 & -5 & 3
O conteúdo é “determinante e matriz inversa via escalonamento”. Para a) vamos precisar saber que uma matriz é invertível se e só se o seu determinante for diferente de zero. Para b) vamos usar o método de Gauss–Jordan (escalonamento da matriz aumentada [Amid I]).
Passo 2
Primeiro, parte (a): verificar invertibilidade sem achar a inversa.
Teoria: se a matriz é triangular (todos os elementos acima ou abaixo da diagonal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Note que A tem zeros acima da diagonal (é triangular inferior), então
det(A)=1cdot(-1)cdot3=-3
Como det(A)=-3neq0, concluímos que A é invertível.
Passo 3
Agora parte (b): achar A^-1 pelo método do escalonamento.
Teoria rápida: para encontrar a inversa de A, montamos a matriz aumentada l[Amid Ir], onde I é a identidade 3times3.
A ideia é usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar, somar múltiplo de linha a outra) sem alterar a solução, até a parte esquerda virar I. O que sobrar à direita será A^-1.
Não há mais nada para eliminar (as colunas acima dos pivôs já estão zeradas). O lado esquerdo virou a identidade, então o lado direito é justamente A^-1.
Resposta
Sim, A é invertível porque det(A)=-3neq0.
A inversa de A é