(2 pontos) Considere alpha=(1,1,1),(0,2,3),(0,2,-1) e beta=(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1).
a) Determine a matriz mudança de base da base alpha para a base beta.
b) Escreva o vetor [v]alpha=(1,1,1) na base beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
alpha=a1,a2,a3 com
a1=(1,1,1), a2=(0,2,3), a3=(0,2,-1),
e beta=b1,b2,b3 com
b1=(1,1,0), b2=(1,-1,0), b3=(0,0,1)
Queremos a matriz de mudança de base de alpha para beta, isto é o operador P que faz
[v]beta=P,[v]alpha,
e em seguida usar P para converter o vetor cujo coordenadas em alpha são (1,1,1).

Passo 2

Formamos as matrizes cujas colunas são coordenadas em relação à base canônica:
A=l[a1;;a2;;a3r] = 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 1 & 3 & -1 ,
B=l[b1;;b2;;b3r] = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Sabemos que
[v]alphamapsto [v]beta Longrightarrow [v]beta =B^-1A,[v]alpha,
logo P = B^-1A.

Passo 3

Invertendo B. Note que o bloco 2times 2 é
M=1&11&-1 com det M=-2,
M^-1=1-2-1 & -1-1 & 1 =tfrac12 & tfrac12[6pt]tfrac12 & -tfrac12
Como b3 é (0,0,1), o inverso de B é
B^-1 = tfrac12 & tfrac12 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1
]

Passo 4

Calculamos
P = B^-1A = tfrac12 & tfrac12 & 0 tfrac12 & -tfrac12 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 1 & 2 & 2 1 & 3 & -1 = 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 3 & -1

Passo 5

Agora aplicamos P ao vetor [v]alpha=(1,1,1):
[v]beta =P111 = 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 3 & -1 111 = 3 -2 3

Resposta

A matriz de mudança de base de alpha para beta é
P= 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 1 & 3 & -1 ,
e as coordenadas de v na base beta são
[v]beta=(3,,-2,,3)

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