Ache uma base a dimensão do subespaço W de R^3, onde:
W=(a, b, c): a+b+c=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base e a dimensão do subespaço W={(a,b,c)∈ℝ³: a+b+c=0}. O conteúdo aqui é subespaços definidos por equações lineares homogêneas, base e dimensão, e vamos precisar parametrizar a solução da equação.

Passo 2

Repare que W é justamente o conjunto de todas as soluções da equação linear homogênea a+b+c=0. Em ℝ^3, uma única equação linear independente define um plano que passa pela origem, logo esperamos que dim(W)=2.

Passo 3

Para parametrizar, escolhemos a e b como variáveis livres e usamos c=-(a+b). Assim um vetor genérico em W pode ser escrito como
(a,b,c)=(a,b,-(a+b))=a,(1,0,-1)+b,(0,1,-1)

Passo 4

Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-1) geram W. Eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), portanto formam uma base de W, confirmando que dim(W)=2.

Resposta

Uma base de W é (1,0,-1),,(0,1,-1) e dim(W)=2.

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