Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão ne
um operador diagonalizável.
a Mostre que existe um vetor cíclico para
se, e somente se,
tem
autovalores distintos.
b Mostre que se
tem
autovalores distintos e se
é uma base de autovetores de
, então
é um vetor cíclico de
.
a Mostre que existe um vetor cíclico para
b Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um operador diagonalizável
em um espaço vetorial
de dimensão
possui vetor cíclico se e somente se ele tem
autovalores distintos, e depois provar que, neste caso, o vetor
(soma dos autovetores de uma base) é cíclico. Vamos usar a definição: um vetor
é cíclico para
se o conjunto
é base de
. Isso equivale a dizer que o polinômio mínimo relativo a
, digamos
, tem grau
.
Passo 2
Suponha que exista
cíclico. Então
é base, logo
tem grau
. Como
é diagonalizável, seu polinômio mínimo
é produto de fatores lineares distintos. Mas sempre
divide
, então
também tem grau
. Assim
e são
autovalores distintos.
Passo 3
Agora suponha que
tem
autovalores distintos
. Novamente, como
é diagonalizável, seu polinômio mínimo é
de grau
. Logo o grau máximo que
pode ter é
, e há vetores cujo
, garantindo existência de vetor cíclico.
Passo 4
Para construir explicitamente esse vetor, tome uma base de autovetores
de
. Seja
Então para cada
temos
Para ver que
é base, observe que escrever essas combinações na base
leva a uma matriz de Vandermonde
, que é invertível quando os
são distintos. Isso mostra independência linear e, por ter
vetores, formam base. Portanto
é cíclico.
Passo 5
Com isso concluímos a equivalência pedida em (a) e, em (b), mostramos que
é realmente vetor cíclico quando há
autovalores distintos.
Resposta
(a) Um operador diagonalizável
em
tem vetor cíclico se e somente se possui
autovalores distintos. (b) Se
tem
autovalores distintos e
é base de autovetores, então
é um vetor cíclico de
.