Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão ne T in L(V) um operador diagonalizável.
a Mostre que existe um vetor cíclico para T se, e somente se, T tem n autovalores distintos.
b Mostre que se T tem n autovalores distintos e se T é uma base de autovetores de v=v1+v2+cdots+vn, então T é um vetor cíclico de .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um operador diagonalizável T em um espaço vetorial V de dimensão n possui vetor cíclico se e somente se ele tem n autovalores distintos, e depois provar que, neste caso, o vetor v=v1+cdots+vn (soma dos autovetores de uma base) é cíclico. Vamos usar a definição: um vetor vin V é cíclico para T se o conjunto v,,T v,,dots,,T^n-1v é base de V. Isso equivale a dizer que o polinômio mínimo relativo a v, digamos mv(t), tem grau n.

Passo 2

Suponha que exista v cíclico. Então v,,Tv,dots,T^n-1v é base, logo mv(t) tem grau n. Como T é diagonalizável, seu polinômio mínimo mT(t) é produto de fatores lineares distintos. Mas sempre mT(t) divide mv(t), então mT(t) também tem grau n. Assim mT(t)=prodi=1^n(t-lambdai) e são n autovalores distintos.

Passo 3

Agora suponha que T tem n autovalores distintos lambda1,dots,lambdan. Novamente, como T é diagonalizável, seu polinômio mínimo é mT(t)=prodi=1^n(t-lambdai), de grau n. Logo o grau máximo que mv(t) pode ter é n, e há vetores cujo mv(t)=mT(t), garantindo existência de vetor cíclico.

Passo 4

Para construir explicitamente esse vetor, tome uma base de autovetores v1,dots,vn de T. Seja v=v1+v2+cdots+vn Então para cada k=0,1,dots,n-1 temos T^k v=sumi=1^nlambdai^k vi Para ver que v,Tv,dots,T^n-1v é base, observe que escrever essas combinações na base vi leva a uma matriz de Vandermonde (lambdai^k), que é invertível quando os lambdai são distintos. Isso mostra independência linear e, por ter n vetores, formam base. Portanto v é cíclico.

Passo 5

Com isso concluímos a equivalência pedida em (a) e, em (b), mostramos que v=v1+cdots+vn é realmente vetor cíclico quando há n autovalores distintos.

Resposta

(a) Um operador diagonalizável T em V tem vetor cíclico se e somente se possui n autovalores distintos. (b) Se T tem n autovalores distintos e v1,dots,vn é base de autovetores, então v=v1+cdots+vn é um vetor cíclico de T.

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