Encontre uma matriz inversível P tal que P^-1 A P esteja na forma racional.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível P que transforme A em sua forma canônica racional, ou seja, P^-1AP deve ser um bloco de companheiros (companion blocks) determinados pelos fatores invariantes de A. Vamos precisar calcular o polinômio característico, o polinômio minimal e determinar os fatores invariantes.
Passo 2
Calcular o polinômio característico de A. Montando det(lambda I - A), obtemos
det(lambda I - A)=(lambda-1)(lambda+2)^2
Logo, o polinômio característico é chiA(lambda)=(lambda-1)(lambda+2)^2.
Passo 3
Determinar o polinômio minimal de A. Para isso, analisamos a geometricidade dos autovalores. Vemos que
A+2I=3&3&33&3&3-3&-3&-3 tem posto 1, então dimker(A+2I)=2, igual à multiplicidade algébrica de lambda=-2. Logo A é diagonalizável em ambos autovalores e o polinômio minimal é
mA(lambda)=(lambda-1)(lambda+2)
Passo 4
Obter os fatores invariantes. Precisamos de dois polinômios monicos d1mid d2 tais que d1d2=chiA(lambda) e d2=mA(lambda)cdot d1. A escolha é