Seja A in M3(R) a matriz
A=(ccc 1 & 3 & 3 3 & 1 & 3 -3 & -3 & -5 )
Encontre uma matriz inversível P tal que P^-1 A P esteja na forma racional.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível P que transforme A em sua forma canônica racional, ou seja, P^-1AP deve ser um bloco de companheiros (companion blocks) determinados pelos fatores invariantes de A. Vamos precisar calcular o polinômio característico, o polinômio minimal e determinar os fatores invariantes.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A. Montando det(lambda I - A), obtemos
det(lambda I - A)=(lambda-1)(lambda+2)^2
Logo, o polinômio característico é chiA(lambda)=(lambda-1)(lambda+2)^2.

Passo 3

Determinar o polinômio minimal de A. Para isso, analisamos a geometricidade dos autovalores. Vemos que
A+2I=3&3&33&3&3-3&-3&-3 tem posto 1, então dimker(A+2I)=2, igual à multiplicidade algébrica de lambda=-2. Logo A é diagonalizável em ambos autovalores e o polinômio minimal é
mA(lambda)=(lambda-1)(lambda+2)

Passo 4

Obter os fatores invariantes. Precisamos de dois polinômios monicos d1mid d2 tais que d1d2=chiA(lambda) e d2=mA(lambda)cdot d1. A escolha é
d1(lambda)=lambda+2, d2(lambda)=(lambda+2)(lambda-1)=lambda^2+lambda-2

Passo 5

A forma racional de A será a matriz bloco-diagonal com o companion de d2 (tamanho 2) e depois o companion de d1 (tamanho 1):
C(d2)=0&21&-1, C(d1)=(-2)

Passo 6

Construir uma base cíclica que realize essa forma. Primeiro, escolhemos um vetor em ker(A+2I) para o bloco de tamanho 1:
w=1-10, (A+2I)w=0

Passo 7

Para o bloco de tamanho 2 gerado por d2, basta um vetor u tal que u,Au sejam independentes. Tomamos
u=e1=100, Au=13-3 Verificamos que no subespaço gerado por u,Au o operador A age como companion de lambda^2+lambda-2 e que Aw=-2w.

Passo 8

Montar a matriz de passagem P=[umid Aumid w]:
P=1&1&10&3&-10&-3&0, det P=-3neq0, Então, pela construção cíclica,
P^-1AP=0&2&01&-1&00&0&-2, que é exatamente a forma racional desejada, com o bloco companion de lambda^2+lambda-2 e o bloco de lambda+2.

Resposta

Uma escolha válida é
P=1&1&10&3&-10&-3&0, P^-1AP=0&2&01&-1&00&0&-2

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