Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão
e
.
ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA
a Prove que
tem um complementar
-invariante se, e somente se,
.
b Se
, prove que
é o único complementar de
que é
-invariante.
b Se
Passo 1
O enunciado pede para estudar a existência e unicidade de um subespaço complementar de
que seja
-invariante, em função da interseção
. O conteúdo principal é decomposição em soma direta e invariância de subespaços por um endomorfismo.
Passo 2
Suponha que exista um subespaço
tal que
e
. Da decomposição direta já vem automaticamente
Como
é sempre
-invariante, podemos olhar a interseção
ou seja,
.
Passo 3
Agora a implicação recíproca. Se
então pela fórmula do posto-nulidade temos
o que força
E como já notamos,
é sempre
-invariante, esse é um complemento desejado.
Passo 4
Por fim, provamos unicidade: suponha que
seja qualquer complemento
-invariante de
. Tomamos
. Como
temos
Mas
e
. Como
, segue
. Então
, logo
e
. Assim
. Igualando dimensões, vem
.
Resposta
Concluímos que
possui complemento
-invariante se, e somente se,
, e nesse caso o único complemento
-invariante é
.