Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão n e T in L(V).

ÁLGEBRA LINEAR AVANÇADA

a Prove que J T tem um complementar T-invariante se, e somente se, J T cap ker T=0.
b Se J T cap ker T=0, prove que ker T é o único complementar de J T que é T-invariante.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a existência e unicidade de um subespaço complementar de JT que seja T-invariante, em função da interseção JTcapker T. O conteúdo principal é decomposição em soma direta e invariância de subespaços por um endomorfismo.

Passo 2

Suponha que exista um subespaço W tal que
V=JToplus W
e T(W)subseteq W. Da decomposição direta já vem automaticamente
JTcap W=0
Como ker T é sempre T-invariante, podemos olhar a interseção
JTcapker TsubseteqJTcap W=0,
ou seja, JTcapker T=0.

Passo 3

Agora a implicação recíproca. Se
JTcapker T=0,
então pela fórmula do posto-nulidade temos
dim(JT)+dim(ker T)=n=dim V,
o que força
V=JToplusker T
E como já notamos, ker T é sempre T-invariante, esse é um complemento desejado.

Passo 4

Por fim, provamos unicidade: suponha que W seja qualquer complemento T-invariante de JT. Tomamos vinker T. Como
v=(u+w), uinJT,;win W,
temos
0=T(v)=T(u)+T(w)
Mas T(u)inJT e T(w)in W. Como JTcap W=0, segue
T(u)=T(w)=0. Então uinker TcapJT=0, logo u=0 e v=win W. Assim ker Tsubseteq W. Igualando dimensões, vem W=ker T.

Resposta

Concluímos que JT possui complemento T-invariante se, e somente se, JTcapker T=0, e nesse caso o único complemento T-invariante é ker T.

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