Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T in L(V).
a Prove que se existe um vetor cíclico para T então todo subespaço próprio T-invariante de V também tem um vetor cíclico.
b Vale a recíproca do item a?

Passo 1

Vamos trabalhar com a visão de módulo de polinômios sobre K[x] aplicado a T.

Passo 2

Como existe v cíclico para T, a aplicação
Phi:K[x]/(mT(x))to V, Phil(p(x)bmod mT(x)r)=p(T)(v)
é um isomorfismo de K[x]-módulos, onde m_T(x) é o polinômio minimal de T.

Passo 3

Seja W⊊V um subespaço próprio e T-invariante. Então Phi^-1(W) é submódulo de K[x]/(mT). Como K[x] é PID, existe p(x) tal que
Phi^-1(W)=(p(x))
como ideal de K[x]/(mT).

Passo 4

Pela definição de (p(x)), temos
$$
W=\Phi\bigl((p(x))\bigr)={p(x)q(x)\bmod m_T(x):q(x)\in K[x]}\n W=Phil((p(x))r)=p(x)q(x)bmod mT(x):q(x)in K[x]n
w=\Phi\bigl(p(x)\bmod m_T(x)\bigr)=p(T)(v)
$$
pertence a W e gera W como K[x]-módulo, ou seja, é cíclico para w=Phil(p(x)bmod mT(x)r)=p(T)(v) .

Passo 5

Portanto, todo subespaço próprio e T-invariante de V tem vetor cíclico, completando (a).

Passo 6

Para (b), a recíproca é falsa. Por exemplo em V de dimensão >1 seja T=λ·Id. Cada subespaço próprio (de dimensão 1) é T-invariante e qualquer vetor não-nulo nele é cíclico para esse subespaço, mas não existe vetor cíclico em V porque a órbita de qualquer v gera apenas K·v≠V.

Resposta

a) Mostramos que, via o isomorfismo de K[x]-módulos entre V e K[x]/(m_T), toda subimagem de um ideal principal em K[x]/(m_T) é gerada por um único polinômio, que fornece o vetor cíclico em W. b) A recíproca não vale em geral: por exemplo T=λ·Id não tem vetor cíclico em V, embora todo subespaço próprio seja cíclico.

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