Sejam
um
-espaço vetorial de dimensão finita e
.
a Prove que se existe um vetor cíclico para
então todo subespaço próprio
-invariante de
também tem um vetor cíclico.
b Vale a recíproca do item a?
a Prove que se existe um vetor cíclico para
b Vale a recíproca do item a?
Passo 1
Vamos trabalhar com a visão de módulo de polinômios sobre K[x] aplicado a T.
Passo 2
Como existe v cíclico para T, a aplicação
é um isomorfismo de K[x]-módulos, onde m_T(x) é o polinômio minimal de T.
Passo 3
Seja W⊊V um subespaço próprio e T-invariante. Então
é submódulo de
. Como K[x] é PID, existe p(x) tal que
como ideal de
.
Passo 4
Pela definição de
, temos
$$
W=\Phi\bigl((p(x))\bigr)={p(x)q(x)\bmod m_T(x):q(x)\in K[x]}\n
w=\Phi\bigl(p(x)\bmod m_T(x)\bigr)=p(T)(v)
$$
pertence a W e gera W como K[x]-módulo, ou seja, é cíclico para .
pertence a W e gera W como K[x]-módulo, ou seja, é cíclico para
Passo 5
Portanto, todo subespaço próprio e T-invariante de V tem vetor cíclico, completando (a).
Passo 6
Para (b), a recíproca é falsa. Por exemplo em V de dimensão >1 seja T=λ·Id. Cada subespaço próprio (de dimensão 1) é T-invariante e qualquer vetor não-nulo nele é cíclico para esse subespaço, mas não existe vetor cíclico em V porque a órbita de qualquer v gera apenas K·v≠V.
Resposta
a) Mostramos que, via o isomorfismo de K[x]-módulos entre V e K[x]/(m_T), toda subimagem de um ideal principal em K[x]/(m_T) é gerada por um único polinômio, que fornece o vetor cíclico em W. b) A recíproca não vale em geral: por exemplo T=λ·Id não tem vetor cíclico em V, embora todo subespaço próprio seja cíclico.