Ache uma base a dimensão do subespaço W de R^3, onde:
W=(a, b, c): c=3 a

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço W de R^3 definido por W=(a,b,c):c=3a. O conteúdo principal aqui é subespaços vetoriais e parametrização de vetores sujeitos a uma equação linear.

Passo 2

A condição c=3a impõe uma restrição linear entre as componentes de um vetor em R^3. Como é uma equação homogênea, o conjunto resultante é de fato um subespaço vetorial (fechado sob soma e multiplicação escalar).
Para parametrizar os vetores em W, tomamos a e b como parâmetros livres em R. Então qualquer (a,b,c) em W satisfaz c=3a, o que nos dá:
(a,b,c) = (a,b,3a) = a,(1,0,3) + b,(0,1,0)

Passo 3

Os vetores (1,0,3) e (0,1,0) geram W. Para checar independência linear, note que alpha(1,0,3)+beta(0,1,0)=(0,0,0) implica alpha=0 e beta=0. Logo são LI e formam uma base de W.
A base encontrada tem 2 vetores, portanto a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é (1,0,3),(0,1,0) e dim(W)=2.

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