Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T in L(V). Prove que T tem um vetor cíclico se, e somente se, a seguinte afirmação é verdadeira: “Todo operador linear que comuta com T é um polinômio em T.”

Passo 1

O enunciado diz: seja um operador linear T num espaço vetorial V de dimensão finita. Temos que provar a equivalência entre (1) “ T tem um vetor cíclico” e (2) “todo operador que comuta com T é um polinômio em T”. Vamos usar teoria de polinômios mínimos e ciclos geradores para mostrar cada implicação.
Conteúdo que vamos usar: a ideia de vetor cíclico (um vetor v é cíclico se v,Tv,dots,T^n-1v gera V), e o fato de que um operador S comuta com T se e somente se S é um homomorfismo de módulo de K[x], ou seja, Scirc T=Tcirc S.

Passo 2

Suponha que exista um vetor cíclico v. Então v,Tv,dots,T^n-1v é base de V, onde n=dim V. Seja S um operador que comuta com T. Como S comuta, temos
S(T^k v)=T^k(Sv), por todo k. Agora, como v,Tv,dots,T^n-1v é base, podemos escrever
Sv = a0 v + a1 Tv + cdots + an-1T^n-1v
para certos aiin K. Defina o polinômio
p(x)=a0+a1x+cdots+an-1x^n-1
Então para todo k
S(T^k v)=T^k(Sv)=T^kl(p(T)vr)=p(T)(T^k v)
Como T^k v é base, concluímos S=p(T).

Passo 3

Agora suponha que não exista vetor cíclico. Seja m o grau do polinômio mínimo muT(x) de T. Como não há vetor cíclico, m< n=dim V. Escolha um vetor v de ordem cíclica máxima, de modo que o subespaço
U=spanv,Tv,dots,T^m-1v
tenha dimensão m< n. Pela definição de m, temos muT(T)=0 em todo V, e em particular muT(T)l|U=0. Complete U a um complemento T-invariante W, ou seja, V=Uoplus W e por
T(W)subset W Defina o operador (S
É claro que S|U = 0, S|W = idW comuta com S porque ambos preservam T e U. Se por absurdo W para algum polinômio S=p(T), então em p
U
e como p(T)|U = S|U = 0 é mínimo, muT, logo muTmid p em todo p(T)=0 (Cayley–Hamilton). Mas em V isso daria
W
um absurdo. Assim existe p(T)|W = 0 neq S|W = idW, que comuta com S e não é polinômio em T.

Passo 4

Portanto mostramos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.

Resposta

T tem vetor cíclico se, e somente se, todo operador que comuta com T é um polinômio em T.

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