Sejam um -espaço vetorial de dimensão finita e . Prove que tem um vetor cíclico se, e somente se, a seguinte afirmação é verdadeira: “Todo operador linear que comuta com é um polinômio em .”
Passo 1
O enunciado diz: seja um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita. Temos que provar a equivalência entre (1) “ tem um vetor cíclico” e (2) “todo operador que comuta com é um polinômio em ”. Vamos usar teoria de polinômios mínimos e ciclos geradores para mostrar cada implicação.
Conteúdo que vamos usar: a ideia de vetor cíclico (um vetor é cíclico se gera ), e o fato de que um operador comuta com se e somente se é um homomorfismo de módulo de , ou seja, .
Passo 2
Suponha que exista um vetor cíclico . Então é base de , onde . Seja um operador que comuta com . Como comuta, temos
por todo . Agora, como é base, podemos escrever
para certos . Defina o polinômio
Então para todo
Como é base, concluímos .
Passo 3
Agora suponha que não exista vetor cíclico. Seja o grau do polinômio mínimo de . Como não há vetor cíclico, . Escolha um vetor de ordem cíclica máxima, de modo que o subespaço
tenha dimensão . Pela definição de , temos em todo , e em particular . Complete U a um complemento T-invariante W, ou seja, V=Uoplus W e por
T(W)subset W Defina o operador (S
É claro que S|U = 0, S|W = idW comuta com S porque ambos preservam T e U. Se por absurdo W para algum polinômio S=p(T), então em p
U
e como p(T)|U = S|U = 0 é mínimo, muT, logo muTmid p em todo p(T)=0 (Cayley–Hamilton). Mas em V isso daria
W
um absurdo. Assim existe p(T)|W = 0 neq S|W = idW, que comuta com S e não é polinômio em T.
Passo 4
Portanto mostramos as duas implicações e concluímos a equivalência desejada.
Resposta
T tem vetor cíclico se, e somente se, todo operador que comuta com T é um polinômio em T.