Encontre vetores v1, cdots, vr que satisfazem as condições do Teorema da Decomposição Cíclica.
Passo 1
A ideia é aplicar o Teorema da Decomposição Cíclica: primeiro encontramos o polinômio característico e o polinômio mínimo de A para decidir o número e as dimensões dos subespaços cíclicos necessários.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=-(lambda-1)^3
e verificamos que o polinômio mínimo é (lambda-1)^2, pois
$$
M:=A-I,\quad M^2=0,\quad M\neq0.$$
Isso mostra que temos um bloco de tamanho 2 (ciclo de ordem 2) e um de tamanho 1 (ciclo de ordem 1).
Passo 3
Para o ciclo de dimensão 2, precisamos de um vetor v1 tal que
$$
M^2v_1=0\quade\quad Mv_1\neq0. M^2v1=0e Mv1neq0
Mv_1=v1=e1=(1,0,0)^T\neq0,$$
e já sabemos que Mv1=2-12neq0,.
Passo 4
Para o ciclo de dimensão 1, precisamos de um autovetor v2 tal que
$$
Mv_2=0 Mv2=0
M x=0\implies x_1=2x_2+2x_3,v2
v_2=v1,$$
que é claramente independente de Mv1 e de M x=0implies x1=2x2+2x3,.