Seja A in M3(R) a matriz
A=(ccc 3 & -4 & -4 -1 & 3 & 2 2 & -4 & -3 )
Encontre vetores v1, cdots, vr que satisfazem as condições do Teorema da Decomposição Cíclica.

Passo 1

A ideia é aplicar o Teorema da Decomposição Cíclica: primeiro encontramos o polinômio característico e o polinômio mínimo de A para decidir o número e as dimensões dos subespaços cíclicos necessários.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=-(lambda-1)^3
e verificamos que o polinômio mínimo é (lambda-1)^2, pois
$$
M:=A-I,\quad M^2=0,\quad M\neq0.$$
Isso mostra que temos um bloco de tamanho 2 (ciclo de ordem 2) e um de tamanho 1 (ciclo de ordem 1).

Passo 3

Para o ciclo de dimensão 2, precisamos de um vetor v1 tal que
$$
M^2v_1=0\quade\quad Mv_1\neq0. M^2v1=0e Mv1neq0
Mv_1= v1=e1=(1,0,0)^T\neq0,$$
e já sabemos que Mv1=2-12neq0,.

Passo 4

Para o ciclo de dimensão 1, precisamos de um autovetor v2 tal que
$$
Mv_2=0 Mv2=0
M x=0\implies x_1=2x_2+2x_3, v2
v_2= v1,$$
que é claramente independente de Mv1 e de M x=0implies x1=2x2+2x3,.

Resposta

Uma escolha válida é
v_1= 100,
v_2= 210.

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