6 Seja S1 subespaço do R^4, S1=(a, b, c, d) / a-2 b=0 e c=3 d.
Determine dim S1 e uma base de S1.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base de um subespaço de R^4 definido por duas restrições lineares: a-2b=0 e c=3d. Vamos usar parametrização de soluções de um sistema homogêneo para encontrar a base e, a partir dela, a dimensão.

Passo 2

As duas equações podem ser reescritas isolando variáveis dependentes em função de variáveis livres:
$$
a - 2b = 0 \implies a = 2b,$$
a - 2b = 0 implies a = 2b,

Passo 3

Escolhemos b e d como parâmetros livres. Então um vetor genérico de S1 é
(a,b,c,d) = (2b,,b,,3d,,d)

Passo 4

Agora separamos em combinação linear nos parâmetros b e d:
(2b,b,3d,d) = b,(2,1,0,0) + d,(0,0,3,1)

Passo 5

Dessa forma vemos que os vetores (2,1,0,0) e (0,0,3,1) geram S1 e são linearmente independentes. O número de parâmetros livres (2) é a dimensão do subespaço.

Resposta

dim S1 = 2 e uma base de S1 é (2,1,0,0),,(0,0,3,1).

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