6 Seja
subespaço do
.
Determine
e uma base de
.
Determine
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e uma base de um subespaço de
definido por duas restrições lineares:
e
. Vamos usar parametrização de soluções de um sistema homogêneo para encontrar a base e, a partir dela, a dimensão.
Passo 2
As duas equações podem ser reescritas isolando variáveis dependentes em função de variáveis livres:
$$
a - 2b = 0 \implies a = 2b,$$
Passo 3
Escolhemos
e
como parâmetros livres. Então um vetor genérico de
é
Passo 4
Agora separamos em combinação linear nos parâmetros
e
:
Passo 5
Dessa forma vemos que os vetores
e
geram
e são linearmente independentes. O número de parâmetros livres (2) é a dimensão do subespaço.