7 Ache uma base ortogonal e uma ortonormal para o subespaço U de R^4 gerado pelos vetores u1= (1,1,1,1), u2=(1,-1,2,2), u3=(1,2,-3,-4).

Passo 1

Temos o subespaço UsubsetR^4 gerado pelos vetores u1=(1,1,1,1), u2=(1,-1,2,2) e u3=(1,2,-3,-4). Para resolver, usamos o processo de Ortogonalização de Gram–Schmidt e depois normalizamos para obter a base ortonormal.

Passo 2

Definimos v1 = u1. Calculamos lang<= u2,v1rang<= = 4 e lang<= v1,v1rang<= = 4, logo
v2 = u2 - lang<= u2,v1rang<=lang<= v1,v1rang<=,v1 = (1,-1,2,2) - 1,(1,1,1,1) = (0,-2,1,1)

Passo 3

Agora projetamos u3 sobre v1 e v2. Calculamos
lang<= u3,v1rang<= = -4, lang<= v1,v1rang<==4, lang<= u3,v2rang<= = -11, lang<= v2,v2rang<==6

Passo 4

Assim
v3 = u3 - -44v1 - -116v2 = (1,2,-3,-4) - (-1,-1,-1,-1) - l(0,tfrac113,-tfrac116,-tfrac116r) = l(2,-tfrac23,-tfrac16,-tfrac76r)

Passo 5

Para simplificar retiramos o denominador 6 e definimos v3' = 6v3 = (12,-4,-1,-7), que permanece ortogonal aos demais.

Passo 6

Como lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j, a base ortogonal de U é
$$
{v_1, v_2, v_3

Resposta

Uma base ortogonal é (1,1,1,1),,(0,-2,1,1),,(12,-4,-1,-7) e uma base ortonormal é tfrac12(1,1,1,1),,tfrac1raiz6(0,-2,1,1),,tfrac1raiz210(12,-4,-1,-7).

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