Determine o vetor de
mais próximo de
nos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o vetor de ${F}=\{x\in\mathbb{R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0,\;x_2-2x_3=0\}$ mais próximo de ${u}=(0,1,0,0)$. Isso equivale a projetar ${u}$ ortogonalmente no subespaço $F$. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema de otimização com restrições lineares.
Passo 2
Vamos definir a Lagrangiana
[
L(x,\lambda)=\|x-u\|^2 + \lambda_1(x_1+x_2+x_3+x_4) + \lambda_2(x_2 - 2x_3).
]
As condições de otimalidade (KKT) são e as próprias restrições. Calculando
obtemos:
[
L(x,\lambda)=\|x-u\|^2 + \lambda_1(x_1+x_2+x_3+x_4) + \lambda_2(x_2 - 2x_3).
]
As condições de otimalidade (KKT) são
Passo 3
Agora usamos as duas restrições em função de
:
- soma dos componentes igual a zero:
[
(x_1+x_2+x_3+x_4)=1 - 2\lambda_1 + \tfrac{\lambda_2}{2}=0
] - $x_2 - 2x_3=0$:
[
1 + \tfrac{\lambda_1}{2} - \tfrac{5\lambda_2}{2}=0
]
que em forma matricial viram um sistema linear em $\lambda_1,\lambda_2$.
Passo 4
Resolvendo o sistema
[
-4\lambda_1 + \lambda_2 = -2,
\quad \lambda_1 - 5\lambda_2 = -2
]
obtemos
[
-4\lambda_1 + \lambda_2 = -2,
\quad \lambda_1 - 5\lambda_2 = -2
]
obtemos
Passo 5
Substituindo esses valores em
chegamos ao vetor projetado:
[
\bigl(-\tfrac{6}{19}, \tfrac{8}{19}, \tfrac{4}{19}, -\tfrac{6}{19}\bigr).
]
[
\bigl(-\tfrac{6}{19}, \tfrac{8}{19}, \tfrac{4}{19}, -\tfrac{6}{19}\bigr).
]
Resposta
(-6/19, ; 8/19, ; 4/19, ; -6/19)