Determine o vetor de F mais próximo de u nos seguintes casos:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor de ${F}=\{x\in\mathbb{R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0,\;x_2-2x_3=0\}$ mais próximo de ${u}=(0,1,0,0)$. Isso equivale a projetar ${u}$ ortogonalmente no subespaço $F$. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver esse problema de otimização com restrições lineares.

Passo 2

Vamos definir a Lagrangiana
[
L(x,\lambda)=\|x-u\|^2 + \lambda_1(x_1+x_2+x_3+x_4) + \lambda_2(x_2 - 2x_3).
]
As condições de otimalidade (KKT) são e as próprias restrições. Calculando obtemos:

Passo 3

Agora usamos as duas restrições em função de x2 - 2x3=0:
  1. soma dos componentes igual a zero:
    [
    (x_1+x_2+x_3+x_4)=1 - 2\lambda_1 + \tfrac{\lambda_2}{2}=0
    ]
  2. $x_2 - 2x_3=0$:
    [
    1 + \tfrac{\lambda_1}{2} - \tfrac{5\lambda_2}{2}=0
    ]
    que em forma matricial viram um sistema linear em $\lambda_1,\lambda_2$.

Passo 4

Resolvendo o sistema
[
-4\lambda_1 + \lambda_2 = -2,
\quad \lambda_1 - 5\lambda_2 = -2
]
obtemos

Passo 5

Substituindo esses valores em chegamos ao vetor projetado:
[
\bigl(-\tfrac{6}{19}, \tfrac{8}{19}, \tfrac{4}{19}, -\tfrac{6}{19}\bigr).
]

Resposta

(-6/19, ; 8/19, ; 4/19, ; -6/19)

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