Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de mathrmTLs R^n R^n expressas na base canônica, onde n é a dimensão da matriz quadrada, alpha, beta, gamma in R.
cccalpha & 0 & 0 0 & alpha & 0 0 & 0 & alpha

Passo 1

Temos uma matriz diagonal com todas as entradas diagonais iguais a alpha. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes diagonais, e para isso vamos usar o polinômio característico definido por det(A - lambda I) = 0.

Passo 2

Escrevendo A - lambda I e calculando o determinante, temos
A - lambda I = alpha - lambda & 0 & 0 0 & alpha - lambda & 0 0 & 0 & alpha - lambda ,
e portanto
det(A - lambda I) = (alpha - lambda)^3

Passo 3

Igualando a zero, obtemos a equação característica
(alpha - lambda)^3 = 0Longrightarrow lambda = alpha
Esse autovalor lambda = alpha tem multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para achar o conjunto de autovetores, resolvemos
(A - alpha I)v = 0
Como A - alpha I é a matriz nula, essa equação é satisfeita por qualquer vetor v in R^3. Então o espaço próprio associado é todo R^3.
Uma base de autovetores pode ser, por exemplo, os vetores da base canônica e1, e2, e3, ou qualquer vetor não-nulo em R^3.

Resposta

O único autovalor é alpha com multiplicidade 3, e todo vetor não nulo de R^3 é autovetor (espaço próprio de dimensão 3, por exemplo gerado por e1,e2,e3).

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