Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes de expressas na base canônica, onde é a dimensão da matriz quadrada, .
Passo 1
Temos uma matriz diagonal com todas as entradas diagonais iguais a alpha. O conteúdo aqui é autovalores e autovetores de matrizes diagonais, e para isso vamos usar o polinômio característico definido por det(A - lambda I) = 0.
Passo 2
Escrevendo A - lambda I e calculando o determinante, temos
Esse autovalor lambda = alpha tem multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para achar o conjunto de autovetores, resolvemos
(A - alpha I)v = 0
Como A - alpha I é a matriz nula, essa equação é satisfeita por qualquer vetor v in R^3. Então o espaço próprio associado é todo R^3.
Uma base de autovetores pode ser, por exemplo, os vetores da base canônica e1, e2, e3, ou qualquer vetor não-nulo em R^3.
Resposta
O único autovalor é alpha com multiplicidade 3, e todo vetor não nulo de R^3 é autovetor (espaço próprio de dimensão 3, por exemplo gerado por e1,e2,e3).