Para cada um dos seguintes funcionais lineares varphi de V, encontre um vetor u in V tal que varphi(v)= \langle v, u\rangle), para todo v in V.
varphi: V R definido por varphi(f)=f(1), onde V=P2 é o espaço dos polinômios de grau <= 2 com o produto interno lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x.

Passo 1

Neste exercício temos um funcional linear varphicolon Vto R dado por varphi(f)=f(1), onde V= P2 é o espaço dos polinômios de grau ≤2 com o produto interno lang<= f,grang<==integral0^1f(x)g(x),dx. Precisamos usar o Teorema da Representação de Riesz para encontrar um uin V tal que varphi(f)=lang<= f,urang<= para todo f.

Passo 2

Pelo Teorema de Riesz, existe um único polinômio u(x)=a+bx+cx^2 em P2 que representa varphi. Nosso objetivo é determinar os coeficientes a,b,c.

Passo 3

Seja um polinômio genérico f(x)=alpha+beta x+gamma x^2. Então
varphi(f)=f(1)=alpha+beta+gamma
e
e e
lang<= f,urang<==integral0^1(alpha+beta x+gamma x^2)(a+bx+cx^2),dx

Passo 4

Igualando essas expressões para todos alpha,beta,gamma, obtemos as condições
integral0^1u(x),dx=1,integral0^1xu(x),dx=1,integral0^1x^2u(x),dx=1,
o que leva ao sistema linear
a+tfrac b2+tfrac c3=1,[6pt]tfrac a2+tfrac b3+tfrac c4=1,[6pt]tfrac a3+tfrac b4+tfrac c5=1

Passo 5

Resolvendo esse sistema (por eliminação ou substituição) encontramos
a=3, b=-24, c=30

Resposta

u(x)=3-24x+30x^2

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