Para cada um dos seguintes funcionais lineares de , encontre um vetor tal que \langle v, u\rangle), para todo . definido por , onde é o espaço dos polinômios de grau com o produto interno .
Passo 1
Neste exercício temos um funcional linear dado por , onde é o espaço dos polinômios de grau ≤2 com o produto interno . Precisamos usar o Teorema da Representação de Riesz para encontrar um tal que para todo .
Passo 2
Pelo Teorema de Riesz, existe um único polinômio em que representa . Nosso objetivo é determinar os coeficientes .
Passo 3
Seja um polinômio genérico . Então
e
e e
Passo 4
Igualando essas expressões para todos , obtemos as condições
o que leva ao sistema linear
Passo 5
Resolvendo esse sistema (por eliminação ou substituição) encontramos a=3, b=-24, c=30